Ero sivun ”Viidennen asteen yhtälö” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p r2.7.1) (Botti lisäsi: ar:دالة خماسية |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 4:
:<math>7x^5+4x^3+1</math>
[[Galois'n ryhmä]] '''Q''':ssa on [[symmetrinen ryhmä|S5]], joka ei ole [[ratkeava ryhmä|ratkeava]]. Ratkaisukaavan löytymättömyyden todisti norjalainen matemaatikko [[Niels Henrik Abel]] vuonna 1824.
== Ratkeamattomuustodistuksen päälinja ==
{{kesken}}
Ratkeamattomuutta ei voi todistaa tutkimalla yhtä juurta kerralla, vaan ideana on tutkia kaikkia juuria kerralla. Epämuodollisesti kuvaten viidennen asteen yhtälön viisi juurta voivat muodostaa solmun, joka ei juurenotoilla aukea. Neljästä juuresta ei saada solmua joka ei aukeisi, jonka vuoksia 4. asteen yhtälölle on yleinen ratkaisukaava.
Todistuksessa tarvitaan kahta algebrallista rakennetta: kuntaa ja ryhmää. Ongelma siirretään ensin polynomista kuntiin ja kuntalaajennuksiin. Kuntalaajennuksiin voidaan määritellä automorfismeja, ja nämä muodostavat ryhmän.
Jotkut ryhmät ovat vaihdannaisia, toiset eivät. Jokainen juurenotto vastaa kuntalaajennusta. Tällaista kuntalaajennusta vastaava ryhmä ei ole välttämättä vaihdannainen, mutta se voidaan tietyllä tapaa nähdä kootuksi vaihdannaisista osista. Näin juurenottojen ketjua vastaava kuntalaajennusten ketjukin koostuu vaihdannaisista osista. Tällaista vaihdannaisista osista koostuvaa ryhmää kutsutaan ratkeavaksi. Voidaan todistaa, että jotkut ryhmät eivät ole ratkeavia, eli niitä ei voi koota vaihdannaisista osista. Toisaalta voidaan polynomin määräämän kuntalaajennuksen automorfismien ryhmä laskea tietämättä juuria, ja jos se osoittautuu olevan ratkeamaton ryhmä, ei vastaavan polynomin juuria voi esittää peruslaskutoimitusten ja juurtamisten avulla.
=== Polynomista kuntalaajennuksiin: juurikunta ===
Kunta on epäformaalisti kuvattuna neljän peruslaskutoimituksen suhteen suljettu joukko, jossa osittelulaki pätee. Esimerkiksi rationaaliluvut ovat kunta.
Myös joukko <math>\{a+b\sqrt{2}\mid a,b \in \mathbb{Q}\}</math> on kunta, siis suljettu laskutoimitusten suhteen. Ensimmäisenä käännetään väite "yhtälön <math>x^2-2x-1=0</math> ratkaisut ovat <math>1\pm\sqrt{2}</math>" muotoon "Polynomin <math>x^2-2x-1=0</math> juuret löytyvät kunnasta <math>\{a+b\sqrt{2}\mid a,b \in \mathbb{Q}\}</math>, joka on kunnan <math>\mathbb{Q}</math> laajennus".
=== Kuntalaajennusten ketju ===
=== Kuntalaajennusten <math>\mathbb{Q}</math>-automorfismit ryhmänä: Galois'n ryhmä ===
=== Ryhmän ratkeavuus ===
=== Galois'n ryhmän laskeminen juuria tuntematta ===
=== Yhteenveto ===
== Kirjallisuutta ==
| |||