Wikipedia

Ero sivun ”Lukujärjestelmä” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
pEi muokkausyhteenvetoa
Rivi 1:
'''Lukujärjestelmä''' tarkoittaa kokonaisvaltaista tapaa, jolla luvut ''sanotaan'', ''kirjoitetaan'' tai ''koodataan''. Muinaisina aikakausina ihmiset ovat keksineet lukuisia erilaisia tapoja ilmaista lukumääriä. Nykyinen laajalle levinnyt tapa käyttää 10-kantaista kantalukujärjestelmää ja paikkamerkintää ei ole tälläkään hetkellä ainoa tapa esittää lukuja, mutta se lienee tehokkain ja monikäyttöisin esitystapa.
'''Lukujärjestelmä''' tarkoittaa tapaa, jolla [[numero]]ista koostetaan [[luku]]ja. Kantaluku kertoo, kuinka monta eri numeroa lukujärjestelmän luvuissa voi esiintyä. Esimerkiksi kymmenjärjestelmässä on luvut 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9. Käytettävä lukujärjestelmä ilmoitetaan usein alaindeksillä tai muulla tunnuksella. (5<sub>10</sub> = 101<sub>2</sub> = 101b)
 
Lukujärjestelmät vaihtelevat aikakausien, etnisten ryhmien, kielten ja tilanteiden mukaan. Esimerkiksi ranskalainen nimeää lukusanat eri tavalla kuin hän muodostaa ne numeroilla käyttäen kymmenjärjestelmä. Englantilainen saattaa käyttää matematiikassa desimaalijärjestelmää, mutta mittaustulosten käsittelyssä hän voi siirtyä käyttämään duodesimaalijärjestelmää. Etelä-Afrikassa ihmiset voidat ilmaista luvut alkeellisella tavalla, mutta Suomessa tietokoneiden ohjelmoijat saattavat käyttää kolmea kantalukujärjestelmää rinnakkain. Useat käytetyt lukujärjestelmät ovat moniulotteisia kulttuurin ja ajan suhteen.
== Lukujärjestelmiä ==
Länsimaissa käytetään yleisesti [[arabialaiset numerot|arabialaisia numeroita]] järjestelmässä, jonka [[kantaluku]] on 10. Myös muunlaisia järjestelmiä on ollut ja on vieläkin käytössä eri sovellusalueilla.
 
==Kantalukujärjestelmät==
Tietotekniikassa käytetään usein 2-kantajärjestelmää eli [[binäärijärjestelmä]]ä (numeroina 0, 1), [[heksadesimaalijärjestelmä]]ä (numeroina 0-9 sekä A, B, C, D, E ja F) ja [[oktaalijärjestelmä]]ä (numeroina 0-7).
 
{{Pääartikkeli|[[Kantalukujärjestelmä]]}}
Muinaiset [[babylonia]]laiset käyttivät 60-järjestelmää (niin sanottu ''[[seksagesimaalijärjestelmä]]''), josta on peräisin mm. [[tunti|tunnin]] jakaminen 60 [[minuutti]]in ja minuutin jakaminen 60 [[sekunti]]in.
 
Kantalukujärjestelmä hyödyntää kiinteän [[kantaluku|kantaluvun]] tuomaa säännöllisyyttä yhdistettynä [[paikkamerkintä]]än, jolla luvun esitystapa pelkistyy yksinkertaiseksi.
Suomen kielen ja sen sukulaiskielissä on käytösä kymmenjärjestelmä. Lukusanojen etymologian perusteella näyttää siltä, että kaikki suomalais-ugrilaisten kielten puhuja käyttivät kymmenjärjestelmää myös tuhansia vuosia sitten. Luvut 1 - 6 ja 10 ovat varmoja omaperäisiä sanoja, mutta kiistaa on ollut lukusanoista 7 - 9. Epäillään, että Suomen sanat ''kahdeksan'' ja ''yhdeksän'' olisivat lainasanoja, jossa yhde- ja kahde- osien jälkeen perässä olisi otettu ''*teksa'' tai ''*deksa'', joka vastaisi indoeurooppalaista sanaa ''deka'' "kymmenen". Silloin vanha lukujärjestelmä on tulkittu ollen 6-kantainen lukujärjestelmä. Toisaalta ''kymmenen'' on omaperäinen sana, joka viittaa vanhaan kymmenjärjestelmän käyttöön. Jos sana kaksi taivutetaan ''kahde-'', voisi muuttunut "kymmen" olla ''*ksa'' tai ''*ksan'' tapainen sana. Vanhaa lukujärjestelmää ei siten voi vielä määrittää harvinaisemmaksi 6-kantaiseksi järjestelmäksi, antamatta tueksi lisäperusteita. <ref name=etymo/>
 
Suomenkin kouluissa opetettava kymmenkantainen [[desimaalijärjestelmä]] on tunnetuin kantalukujärjestelmä. Siinä pienet luvut esitetään yksinumeroisena merkintänä 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9. Kaksinumeroiset merkinnät ovat 10, 11, 12, 13,..., 19, 20, 21,..., 30,...,40,...,50,... ja 99. Ne tulkitaan luvuksi, joka lasketaan 10 = 9 + 1, 11 = 1•10 + 1,..., 32 = 3•10 + 2,... . Kolminumeroisten lukujen arvot lasketaan esimerkiksi 346 = 3•10² + 4•10 + 6.
On mahdollista rakentaa myös muihin kuin kokonaislukuihin perustuvia lukujärjestelmiä. Esimerkiksi [[pii (vakio)|piin]] potenssisarjalle (n<sub>0</sub> + n<sub>1</sub>π + n<sub>2</sub>π<sup>2</sup> + ...) perustuva lukujärjestelmä pystyy merkitsemään täsmällisesti joidenkin irrationaalisten funktioiden arvoja.▼
 
Tietotekniikan takia yleinen [[binäärijärjestelmä]] on kaksikantainen kantalukujärjestelmä. Siinä pienet luvut esitetään yksinumeroisena merkintänä 0 ja 1. Kaksinumeroiset merkinnät ovat 10 ja 11. Ne tulkitaan luvuksi, joka lasketaan 10 = 1 + 1 ja 11 = 1•2 + 1 (desimaalijärjestelmässä). Kolminumeroisten lukujen arvot lasketaan esimerkiksi 101 = 1•2² + 0•2 + 1. Jotta lukija tunnistaisi eri kantalukujärjestelmien lukuesitykset, merkitään sen kantaluku alaindeksinä viimeisen numeron alakulmaan. Siten voidaan edelliset kaksi esimerkkiä kirjoittaa 2-kantainen 10 on 10<sub>2</sub> = 1<sub>10</sub> + 1<sub>10</sub> = 2<sub>10</sub>, joka on 10-kantainen 2. Sitten 2-kantainen 101 on 101<sub>2</sub> = 1<sub>10</sub>•(2<sub>10</sub>)<sup>2</sup> + 0<sub>10</sub>•2<sub>10</sub> + 1<sub>10</sub> = 5<sub>10</sub>, joka on 10-kantainen 5.
== Luvun esitys lukujärjestelmässä ==
 
Toinen tietotekniikan yleistämä on [[heksadesimaalijärjestelmä]], joka on 16-kantainen järjestelmä. Siinä pienet luvut esitetään yksinumeroisena merkintänä 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E ja F. Kaksinumeroiset merkinnät ovat 10, 11, 12, 13,..., 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21,..., 2E, 2F, 30,...,40,...,90,..., A0, A1,..., AF, B1,..., ja FF. Ne tulkitaan luvuksi, joka lasketaan 10<sub>16</sub> = 15<sub>10</sub> + 1<sub>10</sub> = 16<sub>10</sub>, 1F<sub>16</sub> = 1<sub>10</sub>•16<sub>10</sub> + 15<sub>10</sub> = 31<sub>10</sub>,..., 32 = 3<sub>10</sub>•16<sub>10</sub> + 2<sub>10</sub> = 50<sub>10</sub>,... . Kolminumeroisten lukujen arvot lasketaan esimerkiksi 346<sub>16</sub> = 3<sub>10</sub>•(16<sub>10</sub>)<sup>2</sup> + 4<sub>10</sub>•16<sub>10</sub> + 6<sub>10</sub> = 838<sub>10</sub>.
Lukujärjestelmässä, jonka [[kantaluku]] on (ykköstä suurempi) positiivinen luku ''k'', mikä tahansa luku ''x'' ilmaistaan kantaluvun ''k'' [[potenssi]]en [[summa]]na
 
▲On mahdollista rakentaa myös muihin kuin kokonaislukuihin perustuvia lukujärjestelmiä. Esimerkiksi [[pii (vakio)|piin]] potenssisarjalle (n<sub>0</sub> + n<sub>1</sub>π + n<sub>2</sub>π<sup>2</sup> + ...) perustuva lukujärjestelmä pystyy merkitsemään täsmällisesti joidenkin irrationaalisten funktioiden arvoja. Silloin 32<sub>π</sub> = 3<sub>10</sub>•π<sub>10</sub> + 2<sub>10</sub> = (3•π + 2)<sub>10</sub>.
:<math>x = \sum_{i \in Z} d_i k^i</math>,
 
== Muut lukujärjestelmät ==
missä indeksi ''i'' saa kaikki kokonaislukuarvot ja luvun [[numero]]t d<sub>''i''</sub> ovat kokonaislukuja välillä 0..''k''-1, (eli <math>d_i \in [0..k-1]</math>). Kantaluku ''k'' on yleensä positiivinen [[kokonaisluku]].
===Additiivinen merkintätapa===
 
{{Pääartikkeli|[[Additiivinen merkintä]]}}
Lukujärjestelmässä luku kirjoitetaan numeromuodossa <math>\ d_n d_{n-1} d_{n-2}...d_{1} d_{0} \cdot d_{-1} d_{-2}...</math>, missä pisteen vasemmalla puolella olevat numerot muodostavat kokonaisosan ja oikealla puolella olevat murto-osan (desimaalijärjestelmässä desimaaliosan). Kokonaislukuosasta jätetään merkitsemättä alkunollat. Murto-osa pisteen oikealla voidaan merkitä halutulla tarkkuudella koska oikealle mentäessä numeroiden painoarvo pienenee eksponentiaalisesti. Desimaalijärjestelmässä piste merkitään Suomessa [[pilkku|desimaalipilkulla]].
 
Monet kantalukujärjestelmästä poikkeavat lukujärjestelmät saattavat kantaa sisällään kehityskaarensa varrelta mukanaan tuomia erityispiirteitä. Muinaisia piirteitä ovat esimerkiksi additiivinen tapa muodostaa pienet numerot. Näissä voidaan havaita jäänteitä muinaisesta tavasta laskea lukuja. Jotkut etniset ryhmät käyttivät [[kaksilukujärjestelmä]]ä, jolloin tunnettiin vain kaksi lukusanaa ("yksi" ja "kaksi"), toiset kehittyneempää kolmilukujärjestelmää (lukusanat "yksi", "kaksi" ja "kolme"), hyvin monet viisilukujärjestelmää ja niin edelleen. Luku viisi saatettiin ilmaista "kaksi kaksi yksi", jolloin lukusanat laskettiin yhteen. Tällaista tapaa kutsuttiin additiiviseksi tavaksi laskea, mutta kirjoitetuissa kielissä additiiviseksi merkinnäksi. ***
Esimerkiksi desimaalijärjestelmässä luku 73,2 on lyhennysmerkintä esitykselle 7•10<sup>1</sup> +3 •10<sup>0</sup> + 2•10<sup>-1</sup>.
 
[[Roomalaiset numerot]] perustuivat aditiiviseen merkintään, koska luvun arvo saatiin laskemalla yhteen numeroiden arvot. Jos luku kirjoitettiin XIII tarkoitti se lukua (X = 10 ja I = 1) 10 + 1 + 1 + 1 = 13. Vuosiluku MMXV tarkoitti 1000 + 1000 + 10 + 5 = 2015. Joskus luvusta tuli pitkä, esimerkiksi MDCCCLXXXVIII eli 1888, mutta toistuvan numeron kertoimia ei käytetty koskaan.
Kantaluvusta riippuen luvulle saadaan erilainen esitys eri lukujärjestelmissä.
 
Muitakin additiivista merkintää hydyntäviä kansoja on ollut. [[Babylonialaiset numerot|Babylonialaisten numerot]] perustuivat vain kahden numeroon: 1 ja 10. Näitä kahta merkkiä toistamalla geometrisesti ryhmittäen muodostettiin luvut 1 - 59. Luvun arvo laskettiin laskemalla 10:t ja 1:t yhteen. Tätä tehotonta merkintää seurasi kuitenkin älykäs oivallus, kun keksittiin merkitä 60:ä suurempia luvut paikkamerkintää hyödyntäen.
== Luvun esitysmuodon muuntaminen lukujärjestelmästä toiseen ==
 
Myös [[Mayojen numerot|Maya-intiaanien luvut]] perustuivat additiivisuuteen. Pistettä vastasi lukua 1 ja viivaa luku 5. Pisteitä ja viivoja yhdistelemällä voitiin muodostaa luvut 1-19 additiivisesti. Myös mayat kiersivät roomalaisia vaivanneet pitkien lukujen ongelman ottamalla käyttöön paikkamerkinnän 20:tä suuremmille luvuille.
''Huomautus: x<sup>0</sup> = 1 eli mikä tahansa luku (x ei saa olla 0) korotettuna potenssiin nolla on yksi.''
 
===Numerosymbolien lisääminen ja karsiminen===
10-järjestelmässä lukujen painoarvo menee seuraavasti (10:llä jaolliset painoarvot): .... 1000, 100, 10, 1 .... esimerkiksi
* 154<sub>10</sub> = 1·10<sup>2</sup> + 5·10<sup>1</sup> + 4·10<sup>0</sup>
 
Nykyaikaisia piirteitä ovat pienten additiivisesti muodostettujen numeroiden korvaaminen yksittäisillä numerosymboleilla. Kreikkalaisten [[attikalaiset numerot|attikalaiset luvut]] olivat additiivisesti muodostettuja ja korvattiin myöhemmin [[joonialaiset numerot|joonialaisilla luvuilla]]. Esimerkiksi attikalainen luku 27 eli ΔΔΠII (10 + 10 + 5 + 1 + 1) kirjoitettiin myöhemmin joonialaisesti κζʹ (20 + 7). Jokainen luku 1-9 merkittiin eri numerolla, joten I → α, II → β, III → γ, IIII → δ, Π → ε, ΠI → ϝ, ΠII → ζ, ΠIII → η ja ΠIIII → θ. Kymmenluvut saivat vielä omat kirjaimet ι(10), κ(20), λ(30), μ(40), ν(50), ξ(60), ο(70), π(80) ja ϟ(90). Sadoille 100, 200,..., 900 annettiin loput aakkosista ja tuhannet 1000, 2000,... merkittiin taas α, β,...
Heksadesimaalijärjestelmässä taas on heksadesimaaliluvulla 10<sub>16</sub> jaolliset painoarvot (eli 16<sub>10</sub>-jaolliset): .... 4096, 256, 16, 1. Esimerkiksi
* 4F07<sub>16</sub> = 4·16<sup>3</sup> + 15·16<sup>2</sup> + 0·16<sup>1</sup> + 7·16<sup>0</sup> (eli 4<sub>16</sub> · 1000<sub>16</sub> + F<sub>16</sub> · 100<sub>16</sub> + 0<sub>16</sub> · 10<sub>16</sub> + 7<sub>16</sub> · 0<sub>16</sub>)
 
Joonaialaisilla numeroilla oli omaksujansa muun muassa [[armenialaiset numerot|armenialaissa]], [[Heprealaiset numerot|heprealaisissa]] ja intialaisissa. Ainakin joonialaisia ja intialaisia lukujärjestelmiä kehitettiin edelleen karsimalla tuhansia, satoja ja kymmeniä merkitsevät numerot ja käyttämällä vain numeroita 1-9 paikkamerkinnän turvin.
Näin ollen esimerkiksi jos muutamme luvun 1024<sub>10</sub> heksadesimaaliluvuksi, voimme käsitellä sitä seuraavasti:
Katsomme suurimman painoarvoluvun joka on silti pienempi kuin 1024, tässä tapauksessa 256. Kerromme sen niin suurella luvulla kuin mahdollista, että se ei silti ylitä tavoittelemaamme lukua. saadaan luku 4.
 
==Lukusanan lausuminen==
eli siis 1024<sub>10</sub> = 4·256<sub>10</sub>.
Etninen ryhmä saattaa jatkaa vanhojen lukusanojen käyttöä, vaikka lukujärjestelmä olisi vaihtunutkin. Tästä on selviä esimerkkejä Euroopan kielissäkin.
 
Englannissa lukusanat "eleven" ja "twelve" poikkeavat muista lukusanoista "thirteen", "fourteen" ja niin edelleen. Nämä ovat jäänteitä 12-järjestelmästä, joita monet englantilaiset mittayksiköt edelleen seuraavat. Lukusana 11 tarkoittaa suomeksi "yksi jäljellä" ja 12 "kaksi jäljellä", jolla tarkoitettiin jäljellä olevien sormien lukumäärää joka puuttui kaikkien 10 sormen jälkeen. <ref name=barrow94/>
Heksadesimaalilukuna 256<sub>10</sub> = 100<sub>16</sub> joten 4·100<sub>16</sub> = 400<sub>16</sub> joka on tavoittelemamme luku.
 
Ranskan kielessä on säilynyt piirteitä 20-järjestelmästä. Lukusanat kehittyvät normaalisti pienissä luvuissa, mutta yli 60 merktsevät lukusanat muodostetaan poikkeavasti. Lukusanojen "vingt" ja "viginti" (20), "deux" ja "duo" (2) ja "dix" ja "decem" (10) välillä ei ole mitään yhteyttä. Luku 70 lausutaan ranskaksi "soixante-dix" (60 + 10), 80 "quatre-vingt" (4•20) ja 90 "quatre-vingt-dix" (4•20 + 10). Englannissa oli vielä keskiajalla käytössä saksista lainattu "score" (20) ja Raamatun King James-versiossa sanotaan "three-score years and ten" tarkoittaen 70 vuotta. <ref name=barrow97/>
Toisena esimerkkinä voidaan ottaa luku 7386<sub>10</sub>. se on 1·16<sup>3</sup> + 12·16<sup>2</sup> + 13·16<sup>1</sup> + 10·16<sup>0</sup>
Tästä saadaan siis luku 1CDA<sub>16</sub>
 
==Aiheesta muualla==
=== Jakoalgoritmin soveltaminen kokonaislukujen muuntamiseen lukujärjestelmästä toiseen ===
* [http://ultrastudio.org/en/Number_base_conversion Accurate Base Conversion]
 
* [http://sciences.aum.edu/~sbrown/Hindu%20Arabic%20and%20Chinese.pdf The Development of Hindu Arabic and Traditional Chinese Arithmetics]
[[Jakoyhtälö|Jakoalgoritmi]]a voidaan helposti soveltaa kymmenlukujärjestelmässä olevien kokonaislukujen esittämiseksi eri lukujärjestelmissä. Muissa lukujärjestelmissä olevat luvut täytyy ensin muuntaa kymmenlukujärjestelmään ennen jakoalgoritmin soveltamista. Sovellus toimii seuraavanlaisesti:
* [http://www.cut-the-knot.org/recurrence/conversion.shtml Implementation of Base Conversion]
# Otetaan kaksi kakkosta suurempaa kokonaislukua a ja b. a on muunnettava luku ja b on kohdejärjestelmä.
* [http://www.codeproject.com/Articles/350252/From-one-to-another-number-system/ From one to another number system]
# Suoritetaan laskutoimitus <math>a - \left[ \frac{a}{b} \right] \cdot b</math> (merkintä <math>\left[ \frac{a}{b} \right]</math> tarkoittaa, että a jaetaan b:llä, mutta huomioidaan tuloksesta vain kokonaisosa).
# Edellisen laskutoimituksen tulos on muunnoksen ensimmäinen, vähiten merkitsevä numero. Otetaan talteen myös laskutoimituksen <math>\left[ \frac{a}{b} \right]</math> tulos, sillä sitä käytetään seuraavassa kohdassa.
# Toistetaan sama laskutoimitus, mutta tällä kertaa korvataan a edellisen laskutoimituksen <math>\left[ \frac{a}{b} \right]</math> tuloksella. Eli toinen laskutoimitus olisi kokonaan uudelleen laskettuna muotoa <math>\left[ \frac{a}{b} \right] - \left[ \frac{\left[ \frac{a}{b} \right]}{b} \right] \cdot b</math>
# Tuloksena saatiin muunnoksen seuraava numero.
# Jatketaan muunnosta, kunnes laskun <math>\left[ \frac{a}{b} \right]</math> tulos on alle yksi.
 
Seuraavassa perusteellinen esimerkki siitä, kuinka tapahtuisi luvun 1024<sub>10</sub> muuntaminen heksadesimaaliluvuksi. a=1024 , b=16
# <math>1024 - \left[ \frac{1024}{16} \right] \cdot 16 = 1024 - 64 \cdot 16 = 1024 - 1024 = 0, \qquad \left[ \frac{1024}{16} \right] = 64</math>
# <math>64 - \left[ \frac{64}{16} \right] \cdot 16 = 64 - 4 \cdot 16 = 64 - 64 = 0, \qquad \left[ \frac{64}{16} \right] = 4</math>
# <math>4 - \left[ \frac{4}{16} \right] \cdot 16 = 4 - 0 \cdot 16 = 4 - 0 = 4, \qquad \left[ \frac{4}{16} \right] = 0</math>
Lopputulos luetaan alhaalta ylöspäin, eli 1024<sub>10</sub> on siis 400<sub>16</sub>.
 
Yhtä yksinkertaisesti voimme esimerkiksi muuttaa luvun 78162<sub>10</sub>, kuusikymmenlukujärjestelmään. a=78162 , b=60
# <math>78162 - \left[ \frac{78162}{60} \right] \cdot 60 = 78162 - 1302 \cdot 60 = 78162 - 78120 = 42, \qquad \left[ \frac{78162}{60} \right] = 1302</math>
# <math>1302 - \left[ \frac{1302}{60} \right] \cdot 60 = 1302 - 21 \cdot 60 = 1302 - 1260 = 42, \qquad \left[ \frac{1302}{60} \right] = 21</math>
# <math>21 - \left[ \frac{21}{60} \right] \cdot 60 = 21 - 0 \cdot 60 = 21 - 0 = 21, \qquad \left[ \frac{21}{60} \right] = 0</math>
Kuusikymmenlukujärjestelmää käytetään lähinnä ajan mittaamiseen (sekunnit ja minuutit). Jos alkuperäinen kymmenlukujärjestelmässä ollut luku oli sekunneissa, lopputulos on 21 tuntia 42 minuuttia ja 42 sekuntia.
 
== Eri lukujärjestelmillä laskeminen ==
 
Kantaluvusta riippumatta luvuilla "yksi nolla" (10) kertominen ja jakaminen on äärimmäisen helppoa.
esimerkiksi
* Heksadesimaaliluvuilla: 24<sub>16</sub> · 10<sub>16</sub> = 240<sub>16</sub> (36<sub>10</sub> * 16<sub>10</sub> = 576<sub>10</sub>)
* Binääriluvulla: 110b · 100b = 11000b (6<sub>10</sub> · 4<sub>10</sub> = 24<sub>10</sub>)
 
Yhteen- ja vähennyslaskutkaan eivät ylitsepääsemättömiä ole. Kyseessä on vain tottumuskysymys. Periaatteessa yhteenlasku on aivan yhtä yksinkertaista erikantaisilla luvuilla. Ihmiset ovat vain tottuneet käyttämään 10-järjestelmää.
 
==Lähteet==
* {{Kirjaviite | Tekijä =Barrow John D. | Nimeke =Lukujen taivas | Suomentaja =Vilikko, Risto | Vuosi =1999 | Julkaisupaikka =Smedjebacken, Ruotsi | Julkaisija =Art House | Tunniste =ISBN 951-884-231-0 | Viitattu = }}
*{{Kirjaviite | Tekijä =Boyer, Carl | Nimeke =Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II | Suomentaja =Pietiläinen, Kimmo | Vuosi =1994 | Julkaisupaikka =Juva | Julkaisija =Art House | Tunniste =ISBN 951-884-159-4 | Viitattu = }}
* {{Kirjaviite | Tekijä =Pulkkinen, Jarmo | Nimeke =Sudenluusta supertietokoneeseen | Vuosi =2004 | Julkaisupaikka =Helsinki | Julkaisija =Art House Oy |Isbn =951-884-388-0 | Viitattu = }}
*{{Kirjaviite | Tekijä =Häkkinen Kaisa | Nimeke =Nykysuomen etymologinen sanakirja | Vuosi =2007 | Julkaisupaikka =Juva | Julkaisija =WSOY |Isbn =978-951-27108-7 | Viitattu =19.6.2012 }}
{{viitteet|viitteet=
* <ref name=etymobarrow94>Häkkinen,Barrow John KaisaD.: Nykysuomen etymologinen sanakirja,Lukujen 2007taivas, (lukusanojens. selitykset)94-95</ref>
* <ref name=barrow97>Barrow John D.: Lukujen taivas, s. 97-98</ref>
}}
 
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Lukujärjestelmä”