Ero sivun ”Luku” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Jmk (keskustelu | muokkaukset) selvemmin (luku on eri asia kuin sen kirjoitusmerkintä) |
KLS (keskustelu | muokkaukset) lukualueista lisää, engl. Wikipedian pohjalta (ei kuitenkaan kaikilta osin suorana käännöksenä) |
||
Rivi 2:
'''Luvut''' ovat abstrakteja käsitteitä, jotka mittaavat mm. suuruutta sekä järjestystä. [[mahtavuus|Lukumäärää]] ilmaisevia lukuja sanotaan ''kardinaaliluvuiksi'', järjestystä ilmaisevia lukuja puolestaan kutsutaan ''järjestysluvuiksi'' eli ''ordinaaliluvuiksi''. Luvut koostuvat yleensä [[numerot|numeroista]]. Tapaa, jolla numeroista koostetaan lukuja, kutsutaan [[lukujärjestelmä]]ksi.
Kreikkalaiselta filosofilta [[Aristoteles|Aristoteleelta]] on peräisin erottelu luvun ja
== Lukualueet ==
''Matemaattisessa mielessä'' luvut ovat ''joidenkin'' [[avaruus (matematiikka)|matemaattisten avaruuksien]] [[alkio (joukko-oppi)|alkioita]], joita voidaan yhdistellä [[laskutoimitus|laskutoimituksilla]]. On olemassa useita lukualueita, jotka on muodostettu lukukäsitettä eri tavoin laajentamalla.
<center>
{| class="wikitable" style="text-align: center; width: 400px; height: 200px;"
|+ Tärkeimmät lukualueet
|-
! <math> \mathbb{N}</math>
! [[Luonnollinen luku|Luonnolliset luvut]]
| 0, 1, 2, 3, 4, ... '''tai''' 1, 2, 3, 4, ...
|-
! <math> \mathbb{Z}</math>
! [[Kokonaisluku|Kokonaisluvut]]
| ..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
|-
! -
! Positiiviset kokonaisluvut
| 1, 2, 3, 4, 5, ...
|-
! <math> \mathbb{Q}</math>
! [[Rationaaliluku|Rationaaliluvut]]
| <math>\frac{{a}}{{b}}</math> missä ''a'' ja ''b'' ovat kokonaislukuja eikä ''b'' ole nolla
|-
! <math> \mathbb{R}</math>
! [[Reaaliluku|Reaaliluvut]]
| Rationaalilukujen [[suppeneminen|suppenevien]] jonojen [[raja-arvo]]ja
|-
! <math> \mathbb{C}</math>
! [[Kompleksiluku|Kompleksiluvut]]
| ''a'' + ''bi'' missä ''a'' missä ''b'' ovat reaalilukuja ja ''i'' on -1:n neliöjuuri
|}
</center>
=== Luonnolliset luvut ===
Tutuimmat luvut ovat [[luonnollinen luku|luonnolliset luvut]], joilla voidaan ilmaista lukumääriä: [[1 (luku)|yksi]], [[2 (luku)|kaksi]], [[3 (luku)|kolme]] ja niin edelleen. Vanhastaan luonnollisten lukujen on katsottu alkavan 1:stä, eikä [[nolla]]a vanhalla ajalla edes pidetty lukuna. Kuitenkin 1800-luvulta lähtien on varsinkin [[joukko-oppi|joukko-opissa]] ja muillakin matematiikan aloilla tullut tavaksi lukea myös nolla luonnollisten lukujen joukkoon, jotta jokaisen [[äärellinen joukko|äärellisen joukon]] alkioiden lukumäärä eli [[kardinaliteetti]] voidaan ilmaista luonnollisella luvulla ([[tyhjä joukko|tyhjän joukon]] kardinaliteetti on nolla). Nykyään luonnollisten lukujen joukko saatetaan eri yhteyksissä määritellä vaihdellen siten, että nolla joko luetaan siihen kuuluvaksi tai ei. Luonnollisten lukujen joukon symbolina käytetään kirjainta ''N'', usein myös kirjoitettuna muotoon <math> \mathbb{N}</math>.
[[Kymmenjärjestelmä]]ssä, jota nykyään käytetään lähes kaikkialla maailmassa, jokainen luonnollinen luku voidaan merkittää [[paikkajärjestelmä]]n mukaisesti käyttämällä vain kymmentä [[numero]]merkkiä: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, and 9.
Aksiomaattisessa joukko-opissa luonnolliset luvut voidaan määritellä yhtä [[mahtavuus|mahtavien]] äärellistöen joukkojen ekvivalenssiluokiksi.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Patrick suppes | Nimeke = Axiomatic Set Theory | Julkaisija = Courier Dover Publications | Vuosi = 1972 | Sivu = 1 | Tunniste = ISBN 0-486-61630-4}}</ref> Esimerkiksi luku 3 voidaan käsittää kaikkien niiden joukkojen luokaksi, joissa on kolme alkiota. Vaihtoehtoisesti luonnolliset luvut voidaan määritellä [[Peanon aksioomat|Peanon aksioomien]] avulla, jolloin luku 3 on sss0, missä s merkitsee "seuraaja"-funktiota (toisin sanoen 3 on luvun 0 kolmas seuraaja).
=== Kokonaisluvut ===
Luvun [[vastaluku]] määritellään luvuksi, joka lisättynä annettuun lukuun antaa summaksi nollan. Positiivisen luvun vastaluku on [[negatiivinen luku]]. [[Kokonaisluku]]jen joukko saadaan luonnollisten lukujen joukosta lisäämällä siihen jokaisen luvun vastaluku. Luvun vastaluku merkitään lisäämällä sen eteen miinusmerkki (–), esimerkiksi luvun 7 vastaluku on -7, ja 7 + (-7) = 0.
Kokonaislukujen joukon symbolina käytetään kirjainta ''Z'', usein kirjoitettuna muotoon <math>\mathbb{Z}</math>.
Kokonaisluvut muodostavat algebrallisessa mielessä [[rengas|renkaan]], jossa kahdelle luvulle on aina määritelty [[yhteenlasku|yhteen-]], [[vähennyslasku|vähennys-]] ja [[kertolasku]].
=== Rationaaliluku ===
[[Rationaaliluku|Rationaaliluvut]] ovat lukuja, jotka voidaan esittää [[murtoluku]]ina, joissa osoittaja on kokonaisluku ja nimittäjä nollasta eroava luonnollinen luku. Murtoluvut merkitään kirjoittamalla osoittaja ja nimittäjä allekkain sekä niiden väliin viiva. Murtoluvussa <math>\frac{{m}}{{n}}</math> eli ''m/n'' osoittaja ''m'' tarkoittaa yhtä suurten murto-osien lukumäärää ja nimittäjä ''n'' sitä määrää tällaisia murto-osia, jotka yhdessä muodostavat luvun 1. Sama rationaaliluku voidaan esittää murtolukuna usealla eri tavalla, esimerkiksi <math>\frac{1}{2}<math> ja <math>\frac{2}{4}</math> ovat yhtä suuret, toisin sanoen:
: <math>{1 \over 2} = {2 \over 4}.\,</math>
Jos osoittajan ''m'' [[itseisarvo]] ''m'' on suurempi kuin ''n'', on murtoluvun itseisarvo suurempi kuin 1. Murtoluvut voivat olla positiivisia, negatiivisia tai nolla. Rationaalilukujen joukkoon sisältyvät myös kokonaisluvut, sillä jokainen kokonaisluku voidaan esittää murtolukuna, jonka nimittäjä on 1. Esimerkiksi luku --7 voidaan esittää murtolukuna <math>\frac{-7}{1}</math>. Rationaalilukujen joukkojen symboli on ''Q'', joka usein kirjoitetaan myös muodossa <math>\mathbb{Q}</math>.
Algebrallisessa mielessä rationaaliluvut muodostavat [[kunta (matematiikka)|kunnan]].
=== Reaaliluvut ===
[[Reaaliluku]]ja ovat kaikki [[lukusuora]]lle sijoittavat luvut. Ne kirjoitetaan yleensä [[desimaaliluku]]ina, joissa desimaalipilkku (useissa maissa desimaalipiste) erottaa toisistaan kokonaisosan ja ykköstä pienemmät yksiköt.
Desimaalipilkun oikealla puolella kunkin numeron paikka-arvo on kymmenesosa edellisen paikka-arvosta. Niinpä esimerkiksi luku 123,456 tarkoittaa: 1 sata, 2 kymmentä, 3 ykköstä, 4 kymmenesosaa, 5 sadasosaa ja 6 tuhannesosaa. Negatiivisen reaaliluvun alkuun kirjoitetaan miinusmerkki.
Jokainen rationaaliluku on samalla reaaliluku. Kääntäen ei kuitenkaan jokainen reaaliluku ole rationaaliluku. Reaalilukuja, joita ei voi esittää murtolukuina, sanotaan [[irrationaaliluku|irrationaaliluvuiksi]]. Jokainen reaaliluku, joka desimaalilukuna on joko päättyvä taikka päättymätön mutta jaksollinen, on rationaaliluku, mutta päättymättömät jaksottomat desimaaliluvut ovat irrationaalilukuja. Niinpä esimerkiksi 1/2 on desimaalilukuna 0,5 (tasan), 1/3 = 0,333... ja 1/11 = 0,0909..., missä samat numerot toistuvat loppumattomasti Sen sijaan esimerkiksi reaaliluku π, [[pii (vakio)|pii]], on :<math>\pi = 3.14159265358979\dots.\,</math>, missä mikään numerosarja ei sellaisenaan toistu säännöllisesti. Irrationaalilukuja ovat myös esimerkiksi kokonaislukujen [[neliöjuuri|neliöjuuret]], elleivät ne ole kokonaislukuja; niinpä
:<math>\sqrt{2} = 1.41421356237 \dots\,</math>
Reaalilukujen joukossa on voimassa [[täydellisyys]]aksiooma: jokaisella ylhäältä rajoitella osajoukolla on pienin yläraja eli [[supremum]].
Reaalilukujen joukon symbolina käytetään kirjainta ''R'', usein muodossa <math>\mathbb{R}</math>.
Reaalilukuja käytetään [[mittaaminen|mittaustulosten]] ilmoittamiseen, mutta tällöin on aina otettava huomioon mittauksen [[virhemarginaali]]. Tämä otetaan yleensä huomioon [[pyöristäminen|pyöristämällä]] luku siten, että numerot, jotka viittavat suurempaan kuin käytettävissä olevaan tarkkuuteen, jätetään pois. Tällöin jäljelle jääviä numeroita sanotaan [[merkitsevä numero|merkitseviksi numeroiksi]]. Esimerkiksi viivoittimella ei pituuksia yleensä voida mitata tarkemmin kuin [[millimetri]]n tarkkuudella. Niinpä jos [[suorakulmio]]n sivuiksi saadaan mittaamalla 1,23 ja 4,56 metriä, kertoluku antaa näiden tuloksi 5,6088 [[neliömetri]]ä, mutta koska vain kaksi ensimmäistä numeroa desimaalipilkun jäljessä ovat merkitseviä, tulos pyöristetään yleensä muotoon 5,61 m<sup>2</sup>.
[[Abstrakti algebra|Abstraktissa algebrassa]] voidaan osoittaa, että jokainen [[täydellisyys|täydellinen]] [[järjestysrelaatio|järjestetty]] [[kunta (matematiikka)|kunta]] on [[isomorfia|isomorfinen]] reaalilukujen kanssa. Reaaliluvut eivät kuitenkaan muodosta [[algebrallisesti suljettu kunta|algebrallisesti suljettua kuntaa]].
=== Kompleksiluvut ===
Korkeammalla absrtaktiotasolla lukualuetta voidaan edelleen laajentaa muodostamalla [[kompleksiluku|kompleksiluvut]]. Historiallisesti ne otettiin ensimmäiseksi käyttöön yritettäessä muodostaa ratkaisukaavoja [[kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava|kolmannen]] ja [[neljännen asteen yhtälön ratkaisukaava|neljännen asteen yhtälöille]]. Tässä yhteydessä otettiin käyttöön uusi luku, -1:n neliöjuuri, [[imaginaariyksikkö]], jolle [[Leonhard Euler]] otti käyttöön merkinnän ''i''. Kompleksilukuja ovat kaikki muotoa
:<math>\,a + b i</math>
olevat luvut, missä ''a'' ja ''b'' ovat reaalilukuja. Merkinnässä ''a + bi'' lukua ''a'' sanotaan kompleksiluvun [[reaaliosaksi]] ja lukua ''b'' sen [[imaginaariosa]]ksi. Jos luvun reaaliosa on nolla, sitä sanotaan ''puhtaasti imaginaariseksi''. Jos taas imaginaariosa on nolla, luku on reaaliluku. Reaaliluvut muodostavat siis kompleksilukujen [[osajoukko|osajoukon]]. Kompleksilukuja, joiden sekä reaali- että imaginaariosa ovat kokonaislukuja, sanotaan [[Gaussin kokonaisluku|Gaussin kokonaisluvuiksi]].
Kompleksilukujen joukolle käytetään merkintää ''C'', usein myös muodossa <math>\mathbb{C}</math>.
Abstraktissa algebrassa kompleksiluvut muodostavat [[algebrallisesti suljettu kunta|algebrallisesti suljetun kunnan]]. Reaalilukujen tavoin nekin muodostavat [[kunta (matematiikka)|kunnan]], mutta niissä ei ole [[järjestysrelaatio]]ta, toisin sanoen kahdesta kompleksiluvusta ei voida yleensä sanoa, kumpi niistä on suurempi.
Kompleksilukuja ei voi sijoittaa [[lukusuora]]lle, mutta ne voidaan asettaa vastaamaan [[taso]]n pisteitä. Tällöiln jokaista kompleksilukua ''a + bi'' vastaa tason piste (a, b). Tällä tavoin käsiteltyä tasoa sanotaan [[kompleksitaso]]ksi.
Reaali- ja kompleksiluvut voidaan jakaa [[algebrallinen luku|algebrallisiin]] ja [[transkendenttinen luku|transkendenttisiin]] lukuihin. Luku on algebrallinen, jos se on jonkin sellaisen [[polynomi]]yhtälön ratkaisu, jossa kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja. Algebrallisia lukuja ovat esimerkiksi kaikki rationaaliluvut sekä kaikki niistä juurenotolla saadut luvut. Transkendenttisiksi on voitu osoittaa muun muassa [[pii (vakio)|pii]] sekä [[Neperin luku]] ''e''.
Jokainen edellä mainituista lukualueista on kaikkien seuraavien [[aito osajoukko]]. Matemaattisia merkintöjä käyttäen tämä voidaan ilmaista seuraavasti:
<math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} </math>.
== Lukujen merkintä ==
Lukujen kirjoittamiseen käytetään länsimaissa yleisesti ns. [[arabialaiset numerot|arabialaisia numeroita]] järjestelmässä, jonka [[kantaluku]] on 10. Tässä järjestelmässä lukujen kirjoitusasut muodostetaan numeroista 0–9 sekä desimaalierottimesta, joka on maasta riippuen yleensä pilkku tai piste. Peräkkäin kirjoitetuista [[numerot|numeroista]] oikeanpuoleisin on vähiten merkitsevä ja merkitys kasvaa vasemmalle mennessä kantaluvun verran. Eli esim. 123 tarkoittaa samaa kuin 1*10<sup>2</sup> + 2*10<sup>1</sup> + 3*10<sup>0</sup>. Vastaavasti desimaalierottimen oikealla puolella olevat numerot ilmaisevat luvun osia. Desimaalierotinta ei aina merkitä näkyviin.
On myös muita tapoja merkitä luvun osia. Näistä esimerkkinä [[murtoluku|murtoluvut]]. Kokonaisluvut ja luvun osat murtolukuina voidaan merkitä myös samaan lukuun peräkkäin ilman [[yhteenlasku]]operaattoria.
== Sanan muita merkityksiä ==
▲Kreikkalaiselta filosofilta Aristoteleelta on peräisin erottelu luvun ja suureen välillä.
Luku voi myös tarkoittaa kirjan tai muun kirjallisen tuotoksen numeroitua osaa, joka alkaa otsikolla ja sisältää yhden tai useamman [[kappale|kappaleen]]. Kirjallisen teoksen luku voi olla numeroitu tai numeroimaton.
| |||