'''Lineaarialgebra''' on [[matematiikka|matematiikan]] osa-alue, joka tutkii [[vektori|vektoreita]], [[vektoriavaruus|vektoriavaruuksia]], [[lineaarikuvaus|lineaarikuvauksia]] ja [[lineaarinen yhtälöryhmä|lineaarisia yhtälöryhmiä]]. Vektoriavaruudet ovat eräsnykyisin nykymatematiikanmatematiikan keskeisimpiä teemoja,käsitteitä. ja siksi lineaarialgebraaLineaarialgebraa tarvitaan sekä [[abstrakti algebra|abstraktissa algebrassa]] että [[funktionaalianalyysi]]ssä.
== Käsitteitä ==
EräsVektoriavaruuden keskeisistä käsitteistä on lineaarinen riippuvuus: Perhealkiojoukko <math>\{v_i\}_{i=1}^n</math> on ''lineaarisesti riippumaton'', jos propositio <math>\sum_{i=i}^n c_i v_i = 0</math> toteutuu vain kun kaikki kertoimet <math>c_i</math> ovat nollia. Jos alkiot eivät ole lineaarisesti riippumattomia, ne ovat ''lineaarisesti riippuvia''.
Teknisesti tärkeä käsite on kanta. PerheAlkiojoukko <math>\{v_i\}_{i=1}^n</math> on vektoriavaruuden <math>V</math> kanta, jos se on lineaarisesti riippumaton ja jokainen <math>V</math>:n alkio <math>v</math> voidaan esittää lineaarikombinaationakantavektoreiden kantavektoreistalineaariyhdisteenä: <math>v = \sum_{i=1}^n c_i v_i = v</math>, missä kertoimet <math>c_i</math> kuuluvat annettuun [[kunta (matematiikka)|kuntaan]]. Lineaarinen riippumattomuus takaa sen, että kertoimet <math>c_i</math> ovat yksikäsitteiset. Kanta on siis vektoriavaruuden minimaalinen virittäjäperhevirittäjäjoukko.
Eräs kannan sovellutus seuraa välittömästi lineaarioperaattorin <math>L:V\rightarrow W</math> tarkastelemisesta. Operaattorin [[nolla-avaruus]] eli [[ydin (matematiikka)|ydin]] on <math>V</math>:n [[vektorialiavaruus]] ja [[kuva-avaruus]] puolestaan <math>W</math>:n vektorialiavaruus. Jos avaruuksille <math>V, W</math> tunnetaan kannat, voidaan niistä muodostaa (mahdollisesti suppeammat) kannat, jotka ilmaisevat kyseiset aliavaruudet.
