Ero sivun ”Karakteristinen polynomi” versioiden välillä

p
Pientä fiksausta
p (Pientä fiksausta)
'''Karakteristinen polynomi''' on [[neliömatriisi|neliömatriiseihin]] liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita [[matriisi]]in liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin [[ominaisarvo]]t, [[determinantti]] sekä [[jälki]].
 
==MotivaatioLähtökohta==
Annetulle neliömatriisille ''<math>A''</math> on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat ''<math>A''</math>:n ominaisarvot. [[Lävistäjämatriisi]]lle ''A'' karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa ''a<sub>i</sub>'', niin karakteristinen polynomi on muotoa
 
==Päädiagonaalimatriisi==
:<math>(t - a_1)(t - a_2)(t - a_3)...\,</math>
Päädiagonaalimatriisille eli [[lävistäjämatriisi]]lle <math>A</math> karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa <math>a_i</math>, missä <math>i=1,...,n</math>, niin karakteristinen polynomi on muotoa
 
:<math>p_A(t)=(t - a_1)(t - a_2)(t - a_3)...(t - a_n)\,</math>
 
Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.
 
==Yleinen tapaus==
Yleisen matriisin ''A'' tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Jos &lambda; on ''A'':n ominaisarvo, niin on olemassa [[ominaisvektori]] '''v'''&ne;'''0''' siten, että
 
Yleisen matriisin<math>n\times n</math>-neliömatriisin ''<math>A''</math> tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. JosKerroinkunnan &alkio (luku) <math>\lambda;</math> on ''matriisin <math>A'':n</math> ominaisarvo, niinjos ja vain jos on olemassa sellainen vektori ([[ominaisvektori]]) '''<math>\vec{v'''&}\ne;'''\vec{0''' siten}</math>, että
 
:<math>A\vec{v} = \lambda\vec{v}</math>,
 
eli
tai
 
:<math>(A - \lambda I-A)\vec{v} = \vec{0}</math>,
missä ''<math>I''</math> on [[yksikkömatriisi]]. Koska vektori '''<math>\vec{v'''}</math> on nollasta poikkeavaeroava, on matriisimatriisin <math>(A - \lambda I)</math> oltava [[singulaarinen matriisi|singulaarinen]], jolloin sen [[determinantti]] on <math>0</math>. Tämän determinantista saadun polynomin <math>\det(tI - A)</math> juuret ovat <math>A</math>:n ominaisarvoja.
 
Ominaisarvot löydetään siis polynomiyhtälön
:<math>\det(tI - A) = 0\,</math>
ratkaisuina.
 
juuret ovat ''A'':n ominaisarvoja. Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.
 
==Formaali määritelmä==
Olkoon ''<math>K''</math> [[kunta (matematiikka)|kunta]] ja ''<math>A''</math> ''<math>K''</math>-kertoiminen ''<math>n''&\times;''n''-matriisi. Matriisin ''A'':n karakteristinen polynomi ''p''<sub>''A''</submath>(''t'') on määritelmän-matriisi. mukaan
Matriisin <math>A</math> karakteristinen polynomi <math>p_A(t)</math> on määritelmän mukaan
 
:<math>p_A(t) = \det(A - tI-A)\,</math>,
 
missä ''<math>I''</math> on ''<math>n&\times; n''</math> [[yksikkömatriisi]]. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla <math>\det(''A-tI'')</math>. Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi -luvulla <math>\pm 1:llä</math>.
 
==Esimerkki==
Tämä determinantti on
:<math>(t-2)t - 1\cdot(-1) = t^2-2t+1.\,\!</math>
Tämä on ''<math>A''</math>:n karakteristinen polynomi, missä <math>t</math> on matriisin [[ominaisarvo]].
 
[[Luokka:Lineaarialgebra]]
1 516

muokkausta