Avaa päävalikko

Muutokset

==Esimerkkejä ylinumeroituvasti äärettömistä joukoista==
===Reaaliluvut===
EnsimmäinenEnsimmäisen todistelutodistelun reaalilukujen <math>\mathbb{R}</math> ylinumeroituvuudesta esitti Cantor vuonna 1891 julkaisussa ''Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre''. Tämä kuuluisa todistus tunnetaan nimellä [[Cantorin diagonaaliargumentti]]. Hän tarkasteli lukuvälin <math>\left ( 0, 1 \right )</math> lukuja ja huomasi, ettei niitä pystytä esittämään luettelomuodossa. Jos sitä yritetään, voidaan helposti luoda desimaaliluku, joka puuttuu esitetystä luettelosta. Näin ollen numeroituvuutta ei ole ja väli <math>\left ( 0, 1 \right )</math> on ylinumeroituvasti ääretön. Koko reaalilukujen joukko on nyt ylinumeroituva, koska sen osajoukko <math>\left ( 0, 1 \right )</math> on ylinumeroituva. Reaaliluvut ovat ylinumeroituva joukko myös siksi, että voidaan myös määrittää ''bijektio''
:<math>f\colon \left ( 0, 1 \right ) \to \mathbb{R},</math>
missä bijektiona on esimerkiksi <math>f(x)=\tan \left ( \pi x - \frac{\pi}{2} \right ).</math> <ref name=austin/>
 
Reaalilukujen mahtavuuden määrittäminen on ollut ongelmallista niin sanotun [[kontinuumihypoteesi]]n epämääräisyyden vuoksi. Siksi reaalilukujen kardinaaliluvuksi on merkitty <math>\beth_1</math>, joka on suurempi tai yhtäsuuri kuin pienimmän ylinumeroituvan joukon kardinaaliluku <math>\aleph_1.</math>. Eräs tulos kardinaaliluvulle saadaan, kun ajatellaan reaalilukujen joukon olevan yhtä mahtava kuin äärettömästi numeroituvan joukon osajoukkojen joukko. Tällöin reaalilukujen mahtavuus voidaan ilmaista <math>\aleph_0</math>:n avulla <math>\beth_1=2^{\aleph_0}.</math> <ref name=ww4/>
 
===Transkendenttiluvut===
1 901

muokkausta