Ero sivun ”Harmoninen värähtelijä” versioiden välillä

:<math> F = -k x \ .</math>

:<math> F = m a = -k x \, .</math>.

[[Kiihtyvyys]] ''a'' on paikan ''x'' toinen aika[[derivaatta]]

:<math> m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x .</math>.

:<math> \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2 x = 0 ,</math>,

:<math> x = A \cos {(\omega_0 t + \phi)} \, .</math>.

Amplitudi ''A'' ja vaihe <math>\phi \,</math> määritetään alkuehdosta.

:<math> x = A \sin {(\omega_0 t + \phi)} \, </math>

Yleinen ratkaisu voidaan esittää myös muodossa:

<math> x = C_1 \sin{\omega_0 t} + C_2 \cos{\omega_0 t} \, </math>,

Värähtelyn [[taajuus|taajuudeksi]] saadaan:

:<math> f = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{k}{m}}.</math>.

Värähtelyn nopeusnopeudeksi ''v'' ja kiihtyvyyskiihtyvyydeksi ''a'' saadaan:

:<math>v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-A\omega_0\sin(\omega_0t+\phi)= C_1\omega_0 \cos{\omega_0 t} - C_2\omega_0 \sin{\omega_0 t}</math> ja

:<math>a = \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-\omega_0^2x = -A\omega_0^2\cos(\omega_0t+\phi)= -C_1\omega_0^2 \sin{\omega_0 t} - C_2\omega_0^2 \cos{\omega_0 t}.</math>.

Värähtelijän [[kineettinen energia]] on:

:<math> K = \frac{1}{2} m \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega_0 t + \phi) </math>.

ja [[potentiaalienergia]]:

:<math>U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega_0 t + \phi).</math>.

:<math>E = \frac{1}{2} k A^2.</math>.

Pakkovoima ''F_d'' on voima joka tuo systeemiin energiaa. Matemaattisesti yksinkertaisin tapaus on, kun pakkovoima värähtelee sinimuotoisesti. Kun kitkavoimaa eli vaimennusta ei oteta huomioon ja <math>\omega\ne\omega_0</math>, on systeemin liikeyhtälö muotoa:

:<math>\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + {\omega_0}^2x = F_0 \cos(\omega t),</math>,

missä ''F₀'' on pakkovoiman amplitudi ja <math>\omega</math> on pakkovoiman värähtelyn taajuus. Yhtälön yleinen ratkaisu voidaan esittää muodossa:

:<math> x = C \cos{(\omega_0 t- \delta)} + \frac{F_0}{m({\omega_0}^2 -{\omega}^2)} \cos{\omega t} \, </math>,

kun siis <math>\omega\ne\omega_0</math>. Jos tarkastellaan tapausta, jossa <math>\omega=\omega_0</math>, jolloin ylimmän kaavan yksittäisratkaisuksi saadaan:

:<math> x = \frac{F_0}{2m{\omega_0}} t \sin{\omega_0 t} \, </math>,

josta huomataan, että värähtely kasvaa ajan ''t'' kuluessa. Tämä on matemaattinen selitys [[resonanssi]]-ilmiölle. Jos <math>\omega</math> on hyvin lähellä arvoa <math>\omega_0</math>, mutta ei aivan sama, saadaan ratkaisuksi

:<math> x = \frac{F_0}{m({\omega_0}^2 -{\omega}^2)} \sin{\frac{\omega_0 +\omega}{2}t} \sin{\frac{\omega_0 -\omega}{2}t}\, .</math>.

Kun <math>\omega_0</math>-<math>\omega</math> on hyvin pieni eli pakkovoiman taajuus eroaa vain vähän värähtelijän ominaistaajuudesta, on jälkimmäisen sinifunktion jakso hyvin suuri. Tämä ilmenee huojumisena. Tätä muusikot käyttävät hyväksi [[viritys (musiikki)|virittäessään]] soittimiaan.

Jos vaimennuskerroin on niin suuri, että c<supmath>c^2 >4mk</supmath> > 4mk, [[differentiaaliyhtälö]]n ratkaisu on

:<math> x (t) = c_1e^{-(a-b)t} + c_2e^{-(a+b)t},</math>

josta huomataan, että mitään heilahtelua ei tapahdu, sillä molemmat eksponentit ovat negatiivisia, koska ''a, b > 0'' ja ''b < a''. Tällöin molemmat termit lähestyvät nollaa kun t→ <math> t \to \infty </math>. Heilahtelun rata voi ylittää tasapainoaseman ''x = 0'' korkeintaan kerran.