Wikipedia

Ero sivun ”Kunta (matematiikka)” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
MerlIwBot (keskustelu | muokkaukset)
131 404 muokkausta
p Botti muokkasi: es:Cuerpo (matemáticas)
J58660 (keskustelu | muokkaukset)
139 muokkausta
Ei muokkausyhteenvetoa
Rivi 1:
'''Kunta''' ({{k-en|field}}) matematiikassa on epäformaalisti sanottuna [[joukko]], johon on määritelty neljä peruslaskutoimitusta siten, että laskutoimitukset noudattavat tavallisia laskulakeja, ja laskutoimitusten tulos kuuluu samaan joukkoon. Esimerkiksi [[rationaaliluku|rationaaliluvut]] muodostavat kunnan, mutta kokonaisluvut eivät, koska jakolaskun tulos ei ole välttämättä kokonaisluku. Kuntia tutkiva matematiikan ala on [[algebra]].
'''Kunta''' ({{k-en|field}}) tarkoittaa [[algebra]]ssa kahdella laskutoimituksella varustettua [[joukko]]a, joka on kommutatiivinen [[rengas]] ja lisäksi sisältää kaikkien alkioidensa <math>a\ne0</math> [[käänteisalkio]]t. Kuntia ovat esimerkiksi monet lukualueet, tunnetuimpina [[rationaaliluku|rationaalilukujen]] joukko <math>\mathbb Q</math> ja [[reaaliluku|reaalilukujen]] joukko <math>\mathbb R</math>, mutta myös esimerkiksi polynomien osamäärät, rationaalifunktiot, muodostavat kunnan.
 
==Formaali määritelmä==
Kunnan <math>K</math>:n laskutoimituksia merkitään plus- ja kertomerkillä (<math>+</math> ja <math>\cdot</math>).
Tämä tarkoittaa sitä, että "<math>+</math>" määrää kutakin kahta <math>K</math>:n alkiota <math>x</math> ja <math>y</math>
vastaamaan <math>K</math>:n tietyn alkion, jota kutsutaan <math>x</math>:n ja <math>y</math>:n summaksi ja
merkitään <math>x+y</math>:llä; samaten "<math>\cdot</math>" asettaa noita kahta alkiota vastaamaan jonkin <math>K</math>:n alkion, jota kutsutaan <math>x</math>:n ja <math>y</math>:n tuloksi ja merkitään <math>x \cdot y</math>:llä (taikka yksinkertaisesti <math>xy</math>:llä).
 
==Määritelmä==
Joukko <math>K(+,\cdot)</math> on '''kunta''', jos se täyttää seuraavat ehdot:
 
Rivi 19 ⟶ 14:
# Kaikilla <math>x, y</math> on <math>x \cdot y = y \cdot x</math> (tulon vaihdantalaki)
 
Määritelmässä siis käytetään kahta laskutoimitusta. Vähennyslasku voidaan määritellä summan ja vasta-alkion avulla, <math>x-y=x+(-y)</math>, ja jakolasku vastaavasti tulon ja käänteisalkion avulla.
Vaikka nimitykset (yhteenlasku, kertolasku, summa, tulo) antavat mielikuvan, että kunnassa pelataan luvuilla, niin näin ei välttämättä ole &minus; alkiot voivat olla muitakin käsitteitä kuin lukuja. Nollalla merkityn alkion <math>0</math> ei senkään tarvitse olla "oikea nolla", vaan se on vain yhteenlaskussa vaikuttamaton alkio (yhteenlaskun neutraalialkio); samaten on ykkösellä merkitty <math>1</math> vain kertolaskussa vaikuttamaton alkio(kertolaskun neutraalialkio).▼
 
Toisella tavalla sanoen kunta on kommutatiivinen [[rengas]] joka sisältää kaikkien alkioidensa <math>a\ne0</math> [[käänteisalkio]]t.
Siitä ei kuitenkaan pääse mihinkään, että nuo yhdeksän ominaisuutta ovat juuri ne, jotka tunnetusti esiintyvät [[kompleksiluku|luvuilla]]. Tuntemamme tavalliset luvut, vaikkapa kaikki lukusuoran [[reaaliluku|reaaliluvut]], muodostavat siis kunnan. ([[reaaliluku|Reaalilukujen]] kunta on oikeastaan täydellinen järjestetty kunta)
 
Tunnetuimmat kunnat ovat rationaaliluvut <math>\mathbb Q</math>, [[reaaliluku|reaaliluvut]] <math>\mathbb R</math> ja [[kompleksiluku|kompleksiluvut]] <math>\mathbb C</math>. Reaaliluvut ovat rationaalilukujen kuntalaajennus ja kompleksiluvut reaalilukujen kuntalaajennus, mutta kaikki kunnat eivät muodosta samanlaista laajennusten jonoa. Esimerkiksi gaussin rationaalit, eli kompleksiluvut joiden reaali- ja imaginääriosat ovat rationaalilukuja, muodostavat kunnan. Gaussin rationaalit ja reaaliluvut eivät ole kumpikaan toisensa kuntalaajennuksia.
Muita esimerkkejä kunnista ovat [[kompleksiluku]]jen kunta <math>\mathbb C</math> sekä kaikki tämän alikunnat, joita nimitetään lukukunniksi. Näitä ovat muun muassa [[rationaaliluku|rationaalilukujen]] kunta <math>\mathbb Q</math>, [[reaaliluku|reaalilukujen]] kunta <math>\mathbb R</math>, [[algebrallinen luku|algebralliset]] lukukunnat <math>\mathbf Q(\mu)</math> ja kaikkien algebrallisten lukujen kunta <math>\mathbb A</math>. Jos <math>K</math> on mielivaltainen kunta, niin kaikki sen alkioiden avulla muodostetut yhden tai useamman "muuttujan" rationaalifunktiot (polynomien osamäärät) muodostavat kunnan, niin sanotun rationaalifunktiokunnan. Tällainen voidaan puolestaan laajentaa esimerkiksi algebralliseksi funktiokunnaksi.
 
Muita äärettömiä kuntia ovat esimerkiksi [[algebrallinen luku|algebralliset]] lukukunnat <math>\mathbf Q(\mu)</math>, kaikkien algebrallisten lukujen kunta <math>\mathbb A</math>, ja polynomien osamäärät eli rationaalifunktiot.
 
Äärellinen kunta syntyy yksinkertaisimmin siten, että joukoksi valitaan kokonaisluvut <math>0, 1, 2, \ldots, p-1</math>, jossa p on [[alkuluku]], ja yhteenlasku ja kertolasku määritellään s.e. tuloksesta otetaan jakojäännös luvulla <math>p</math>.
 
▲Vaikka nimitykset (yhteenlasku, kertolasku, summa, tulo) antavat mielikuvan, että kunnassa pelataan luvuilla, niin näin ei välttämättä ole &minus; alkiot voivat olla muitakin käsitteitä kuin lukuja. Nollalla merkityn alkion <math>0</math> ei senkään tarvitse olla "oikea nolla", vaan se on vain yhteenlaskussa vaikuttamaton alkio (yhteenlaskun neutraalialkio); samaten on ykkösellä merkitty <math>1</math> vain kertolaskussa vaikuttamaton alkio(kertolaskun neutraalialkio).
 
== Joitakin kuntia koskevia perustuloksia ==
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Kunta_(matematiikka)”