Ero sivun ”Lebesguen mitta” versioiden välillä

[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Saaskis (keskustelu | muokkaukset)
p Lebesgue päättyy äännettäessä g-kirjaimeen, joten genetiiviin heittomerkki.
Rivi 1:
'''LebesguenLebesgue'n mitta''' on [[reaaliluku]]jen joukon [[Mittateoria|mitta]], jota kutsutaan havainnollisuutensa vuoksi myös '''luonnolliseksi mitaksi'''. Sen integraali eli LebesguenLebesgue'n integraali on [[Riemannin integraali]]n laajennus.
 
LebesguenLebesgue'n mitalla on useita luonnolliselta tuntuvia ominaisuuksia. Se yhtenee [[geometria]]n [[pituus]]-, [[pinta-ala]]- ja [[tilavuus]]käsitteiden kanssa sikäli, että esimerkiksi reaalilukuvälin <math>[a,b]</math> LebesguenLebesgue'n mitta on <math>b-a</math>, -neliön <math>[a,b] \times [a,b]</math> mitta on <math>(b-a)^2</math> ja -kuution <math>[a,b] \times [a,b] \times [a,b]</math> mitta on <math>(b-a)^3</math>. Se on siirto- ja kiertoinvariantti, minkä voi tulkita graafisesti niin, ettei joukon asennolla tai sijainnilla ole vaikutusta sen mittaan. LebesguenLebesgue'n mitta on määritelty kaikille helposti kuviteltaville joukoille. Ei ole vielä löydetty sellaista reaalilukujen joukkoa, joka ei olisi Lebesgue-mitallinen eikä luonteeltaan monimutkainen ja abstrakti.
 
== LebesguenLebesgue'n mitan määrittely ==
 
LebesguenLebesgue'n mitta määritellään LebesguenLebesgue'n ulkomitan kautta, joka on mitta, joka on määritelty mielivaltaisille <math>n</math>-ulotteisille reaalilukujen joukoille. Alustavasti on kuitenkin tehtävä joitakin määritelmiä.
 
''Yksiulotteinen avoin väli'' on perinteiseen tapaan väli
Rivi 14:
<center><math>l(I) = \prod_{i=1}^n (a_i-b_i) = (a_1-b_1) \cdot (a_2-b_2) \cdot \ldots \cdot (a_n-b_n)</math>.</center>
 
=== LebesguenLebesgue'n ulkomitta ===
 
Jos <math>n</math> on [[luonnollinen luku]], joukko
<math>A \subset \mathbb{R}^n</math>, niin joukon <math>A</math> '''LebesguenLebesgue'n ulkomitta''' on
<center><math>m_n^* (A) = \inf \left\{ \sum_{k=1}^{\infty} l(I_k) \, \left| \, A \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k , \ I_k \ \textrm{on} \ n\textrm{-ulotteinen} \ \mbox{vali} \ \textrm{kaikilla} \ k \in \mathbb{N} \right. \right\} </math>.</center>
<math>m_n^*</math> on kuvaus <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^n) \rightarrow [0,\infty]</math>.
Rivi 41:
Kaikki Lebesgue-mitalliset joukot eivät kuitenkaan ole Borel-joukkoja.
 
=== LebesguenLebesgue'n mitta ===
 
Jos joukko <math>E \subset \mathbb{R}^n</math> on Lebesgue-mitallinen, niin sen '''LebesguenLebesgue'n mitta''' on
<math>m_n (E)=m_n^* (E)</math>. <math>m_n</math> on siis kuvaus <math>Leb(\mathbb{R}^n) \rightarrow [0,\infty]</math>.
 
Rivi 62:
* jos <math>A \subset \mathbb{R}^n</math> ja <math>(f_1, f_2, \ldots)</math> on jono Lebesgue-mitallisia funktioita <math>A \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ +\infty , -\infty \}</math>, niin funktiot <center><math>\sup_{i \rightarrow \infty} f_i</math>, <math>\inf_{i \rightarrow \infty} f_i</math>, <math>\limsup_{i \rightarrow \infty} f_i</math> ja <math>\liminf_{i \rightarrow \infty} f_i</math></center> ovat Lebesgue-mitallisia. Jos lisäksi <center><math>\lim_{i \rightarrow \infty} f_i</math></center> on olemassa, on se Lebesgue-mitallinen
 
== LebesguenLebesgue'n mitan ominaisuuksia ==
 
Jos <math>E</math> on <math>n</math>-ulotteinen avoin väli, niin <math>m(E) = l(E)</math>. LebesguenLebesgue'n mitta on siis geometrisen mitan laajennus siinä mielessä, että kaikilla niillä joukoilla, joilla geometrinen mitta on määritelty, on myös LebesguenLebesgue'n mitta ja se on sama kuin geometrinen mitta. LebesguenLebesgue'n mitta on samoin myös [[Jordanin mitta|Jordanin mitan]] laajennus.
 
Jos <math>E_1, E_2, \ldots</math> on jono pareittain erillisiä Lebesgue-mitallisia joukkoja, niin
Rivi 71:
Jos <math>E</math> on numeroituva joukko, niin <math>m(E) = 0</math>.
 
LebesguenLebesgue'n mitta <math>m_n</math> on [[Täydellinen mitta|täydellinen]] [[Mitallinen kenttä|mitallisella kentällä]] <math>(\mathbb{R}^n,\operatorname{Bor} \, \mathbb{R}^n)</math>.
 
== LebesguenLebesgue'n integraali ==
 
LebesguenLebesgue'n integraali on [[Mittateoria#Integraali|mittaintegraali]] LebesguenLebesgue'n mitan suhteen. Kun määritellään
:<math> f^+ : X \rightarrow [0, \infty] = \max \{ f,0 \} </math> ja <math> f^- : X \rightarrow [0, \infty] = \max \{ -f,0 \}</math>
Lebesgue-mitalliselle funktiolle <math>f: X \rightarrow \mathbb{R} </math>, ja edes toinen integraaleista <math>\int_E f^+ \,</math> tai <math>\int_E f^- \,</math> on äärellinen, voidaan LebesguenLebesgue'n integraali yli mitallisen joukon ''E'' määritellä
:<math>\int_E f = \int_E f^+ - \int_E f^- \,</math>.
Mikäli
:<math>\int_E |f| = \int_E f^+ + f^- < \infty </math>,
sanotaan, että funktio on Lebesgue-integroituva yli joukon ''E'', ja merkitään esimerkiksi <math> f \in L^1(E) </math>. LebesguenLebesgue'n integraali on [[Riemannin integraali]]n aito laajennus: Mikäli Riemannin integraali funktiolle on olemassa, LebesguenLebesgue'n integraali antaa saman tuloksen. Lisäksi monille funktioille, jotka eivät ole Riemann-integroituvia, LebesguenLebesgue'n integraali antaa vaivatta modernin analyysin kannalta "oikean" tuloksen. Sanallinen kuvaus LebesguenLebesgue'n integraalin määritelmästä ja ominaisuuksista löytyy [[Henri Lebesgue#Lebesguen integraali|täältä]].
 
== Katso myös ==