Ero sivun ”Lebesguen mitta” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p Lebesgue päättyy äännettäessä g-kirjaimeen, joten genetiiviin heittomerkki. |
|||
Rivi 1:
'''
==
''Yksiulotteinen avoin väli'' on perinteiseen tapaan väli
Rivi 14:
<center><math>l(I) = \prod_{i=1}^n (a_i-b_i) = (a_1-b_1) \cdot (a_2-b_2) \cdot \ldots \cdot (a_n-b_n)</math>.</center>
===
Jos <math>n</math> on [[luonnollinen luku]], joukko
<math>A \subset \mathbb{R}^n</math>, niin joukon <math>A</math> '''
<center><math>m_n^* (A) = \inf \left\{ \sum_{k=1}^{\infty} l(I_k) \, \left| \, A \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k , \ I_k \ \textrm{on} \ n\textrm{-ulotteinen} \ \mbox{vali} \ \textrm{kaikilla} \ k \in \mathbb{N} \right. \right\} </math>.</center>
<math>m_n^*</math> on kuvaus <math>\mathcal{P}(\mathbb{R}^n) \rightarrow [0,\infty]</math>.
Rivi 41:
Kaikki Lebesgue-mitalliset joukot eivät kuitenkaan ole Borel-joukkoja.
===
Jos joukko <math>E \subset \mathbb{R}^n</math> on Lebesgue-mitallinen, niin sen '''
<math>m_n (E)=m_n^* (E)</math>. <math>m_n</math> on siis kuvaus <math>Leb(\mathbb{R}^n) \rightarrow [0,\infty]</math>.
Rivi 62:
* jos <math>A \subset \mathbb{R}^n</math> ja <math>(f_1, f_2, \ldots)</math> on jono Lebesgue-mitallisia funktioita <math>A \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ +\infty , -\infty \}</math>, niin funktiot <center><math>\sup_{i \rightarrow \infty} f_i</math>, <math>\inf_{i \rightarrow \infty} f_i</math>, <math>\limsup_{i \rightarrow \infty} f_i</math> ja <math>\liminf_{i \rightarrow \infty} f_i</math></center> ovat Lebesgue-mitallisia. Jos lisäksi <center><math>\lim_{i \rightarrow \infty} f_i</math></center> on olemassa, on se Lebesgue-mitallinen
==
Jos <math>E</math> on <math>n</math>-ulotteinen avoin väli, niin <math>m(E) = l(E)</math>.
Jos <math>E_1, E_2, \ldots</math> on jono pareittain erillisiä Lebesgue-mitallisia joukkoja, niin
Rivi 71:
Jos <math>E</math> on numeroituva joukko, niin <math>m(E) = 0</math>.
==
:<math> f^+ : X \rightarrow [0, \infty] = \max \{ f,0 \} </math> ja <math> f^- : X \rightarrow [0, \infty] = \max \{ -f,0 \}</math>
Lebesgue-mitalliselle funktiolle <math>f: X \rightarrow \mathbb{R} </math>, ja edes toinen integraaleista <math>\int_E f^+ \,</math> tai <math>\int_E f^- \,</math> on äärellinen, voidaan
:<math>\int_E f = \int_E f^+ - \int_E f^- \,</math>.
Mikäli
:<math>\int_E |f| = \int_E f^+ + f^- < \infty </math>,
sanotaan, että funktio on Lebesgue-integroituva yli joukon ''E'', ja merkitään esimerkiksi <math> f \in L^1(E) </math>.
== Katso myös ==
|