Ero sivun ”Kokonaisalue” versioiden välillä

28 merkkiä lisätty ,  15 vuotta sitten
p
Otsikon pienennys, tynkä
 
p (Otsikon pienennys, tynkä)
[[Rengas]]ta <math>R</math> kutsutaan '''kokonaisalueeksi''', jos <math>R</math> on kommutatiivinen eikä <math>R</math>:ssä ole [[nollanjakaja|nollanjakajia]]. Monet kiinnostavat renkaat ovat kokonaisalueita, muun muassa kokonais- ja reaaliluvut sekä [[jäännösluokkarengas|jäännösluokkarenkaat]] <math>\mathbb Z_m</math>, missä ''m'' on [[alkuluku]]. Kokonaisalueet käyttäytyvät monessa suhteessa samankaltaisesti kuin kokonaisluvut, joita voidaan pitää kokonaisalueiden arkkityyppinä. Muun muassa kokonaisalueen ''n''-asteisella [[polynomi]]lla on korkeintaan ''n'' juurta ja kokonaisalueissa on voimassa supistamislaki <math>ab = ac \Rightarrow b = c</math>.
 
==Karakteristika==
 
Alkion <math>a</math> monikerta <math>na=a+a+ \cdots +a</math>, missä yhteenalskettavia on ''n'' kappaletta. Jos kokonaisalueen ''D'' alkion ''a'' monikerta <math>na = 0</math> jollakin kokonaisluvulla ''n'', kun ''n'' ja ''a'' ovat nollasta poikkeavia, niin jokaisella ''D'':n alkiolla ''b'' <math>nb = 0</math>, mikä nähdään seuraavasti: <math>na = a + \cdots + a = a \cdot 1 + \cdots + a \cdot 1 = a \cdot (1 + \cdots + 1) = a \cdot (n1)</math>, joten jos <math>a \neq 0</math>, niin koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia, täytyy olla <math>n1 = 0</math>. Kertomalla tämä ''b'':llä ja kirjoittamalla lauseke vastaavalla tavalla auki päädytään yhtälöön <math>nb = 0</math>.
 
Luokittelu eri karakteristikan mukaan on tärkeä tapa jaotella kokonaisalueita. Erityisen suuri ero on niiden kokonaisalueiden välillä, joiden char(''D'') = 0 (äärettömien) ja char(''D'') > 0 (äärettömien tai äärellisten). Ero tulee esimerkiksi näkyviin [[kuntalaajennus]]ten yhteydessä.
 
{{tynkä/Matematiikka}}
44

muokkausta