Sijoitusperiaate

Sijoitusperiaatteen mukaan vaihdannaisen renkaan R jokainen polynomien välinen yhtälö pysyy voimassa, kun x:n paikalle sijoitetaan mikä tahansa renkaan alkio c. Tämä johtuu siitä, että on renkaan R ja sen polynomirenkaan R[x] välillä on olemassa homomorfismi $R[x]\rightarrow R,\quad f(x)=f(c)$, missä renkaan alkio c on kiinteä ja $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$ ja $f(c)=a_{0}+a_{1}c+\cdots +a_{n}c^{n}$. Tämä on rengashomomorfismi, sillä

• $a(x)=f(x)+g(x)\Rightarrow a(c)=f(c)+g(c)$,
• $b(x)=f(x)\cdot g(x)\Rightarrow b(c)=f(c)\cdot g(c)$ ja
• $f(x)=1\Rightarrow f(c)=1$.

Esimerkki

Kokonaislukujen rengas tavanomaisten yhteen- ja kertolaskun suhteen on vaihdannainen. Polynomit f(x) = x, g(x) = 1 + x² ja h(x) = x + x³ toteuttavat yhtälön f(x)g(x) = h(x). Sijoittamalla x = 3 saadaan f(3) = 3, g(3) = 10 ja h(3) = 30. Siis f(3)g(3) = h(3), aivan kuten sijoitusperiaate ennustaa.