Ero sivun ”Polynomi” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p Botti lisäsi: cy:Polynomial |
polynomien algebrallinen puoli, esimerkkejä ja yleistyksiä |
||
Rivi 1:
Useimmin '''polynomit''' tavataan ensimmäistä kertaa peruskoulussa, jossa niitä esiintyy lähinnä seuraavankaltaisissa tehtävissä: Ratkaise ''x'' yhtälöstä ''x''² + 2''x'' = 4. Tällöin on kyse [[analyysi]]ssä käsitellyistä '''polynomifunktioista'''. Polynomeja esiintyy kuitenkin matematiikassa hyvin laajalti, eikä niiden funktiotulkinta suinkaan ole aina oleellinen. Esimerkiksi [[generoiva funktio|generoivia funktioita]] esitetään polynomeilla, mutta ne eivät nimestään huolimatta ole funktioita lainkaan.
==Polynomi yli renkaan==
[[rengas|Renkaan]] ''R'' yli voidaan määritellä polynomi <i>p(x)</i>, <math>p(x) = a_0 + a_1 x+ \cdots + a_n x^n</math>, missä <math>n \geq 0, a_i \in R \forall i</math>. Selvästi tällainen polynomi vastaa ääretöntä jonoa <math>(a_1,a_2,...,a_n,0,0,0,...)</math>, jossa taas kaikki <i>a<sub>i</sub></i> ovat renkaan <i>R</i> alkioita. Polynomien voidaan siis ajatella olevan vain muodollisia kirjoitelmia, joissa <i>x</i> on pelkkä symboli, määräämätön. Muodollisille kirjoitelmille voidaan määritellä polynomien yhteen- ja kertolaskua vastaavat laskutoimitukset, jolloin muodostuu [[polynomirengas]] <math>R[x]</math>. Polynomirenkaita käsiteltäessä polynomeja ajatellaan joko muodollisina kirjoitelmina tai funktioina riippuen siitä, kumpi on tarkoituksellisempaa. Valitsemalla <i>p</i>(<i>x</i>):n määritelmässä, että rengas <i>R</i> on reaalilukurengas, saadaan peruskoulusta tutut polynomit.
Lyhyillä polynomeilla on omat erityisnimityksensä. Polynomia, jolla on yksi termi, kutsutaan ''monomiksi''. Kaksitermistä polynomia kutsutaan ''binomiksi'' ja kolmitermistä ''trinomiksi''.
==Reaali- ja kompleksipolynomit==
[[Analyysi]]ssä käsitellyt polynomifunktiot yli <math>\mathbb{C}</math>:n ja <math>\mathbb{R}</math>:n ovat tärkeä [[sileä funktio|sileiden funktioiden]] aliluokka. Sileät funktiot ovat funktioita, joilla on kaikkien kertalukujen derivaatat.
Polynomien arvoja on helppo määrittää johtuen polynomien yksinkertaisesta rakenteesta. Polynomeja käytetäänkin paljon [[numeerinen analyysi|numeerisessa analyysissä]], jossa polynomeilla voidaan approksimoida funktioita ja siten funktioille voidaan määrittää vaikkapa numeerisia integraaleja.
Tietokoneiden numeerisessa laskennassa
[[Lineaarialgebra]]ssa neliömatriisin karakteristinen polynomi pitää sisällään useita tärkeitä matriisin ominaisuuksia. [[Verkkoteoria]]ssa verkon muuttujan ''x'' kromaattiset polynomit kertovat kuinka monella tavalla verkko voidaan värittää ''x'' värillä.▼
==Polynomeja matematiikan eri aloilta==
[[Lineaarialgebra]]ssa neliömatriisin karakteristinen polynomi pitää sisällään useita tärkeitä matriisin ominaisuuksia.
▲
[[kombinatoriikka|Kombinatoriikassa]] käytetään [[generoiva funktio|generoivia funktioita]], joita käyttäen monet kombinatoriset tarkastelut voidaan palauttaa polynomien käsittelyksi. Tarkastellaan esimerkin vuoksi vaaleja, jossa erässä vaalipiirissä on ehdolla kaksi vasemmiston ehdokasta. Tällöin vaaleja edustaa generoiva funktio <i>f</i>(<i>x</i>) = 1 + 2<i>x</i> + <i>x²</i>, jossa siis <i>x<sup>k</sup></i>:n kerroin kertoo, kuinka monella tavalla <i>k</i> vasemmistolaista voidaan valita. Jos jossain toisessa vaalipiirissä on myös ehdolla kaksi ehdokasta, tässä vaalipiirissä vaaleja edustaa myös <i>f</i>(<i>x</i>). Vastaus kysymykseen, kuinka monella tavalla näissä kahdessa vaalipiirissä yhdessä voidaan valita <i>s</i> vasemmistolaista saadaan tulopolynomin astetta <i>s</i> olevan termin kertoimesta.
==Polynomien yleistyksiä==
Yllä polynomi määriteltiin siten, että alin esiintyvä <i>x</i>:n eksponentti on 0. Joissain tilanteissa on kätevää ottaa mukaan myös negatiiviset eksponentit, jolloin saadaan muotoa <math>a_{-m}x^{-m}\cdots + a_{-1}x^{-1} + a_0 + a_1 x+ \cdots + a_n x^n</math> olevia lausekkeita. Tällaisia yleistettyjä polynomeja kutsutaan [[Laurentin polynomi|Laurentin polynomeiksi]].
Toinen mahdollinen yleistys ovat [[usean muuttujan polynomi]]t, joiden yleinen muoto on <math>\sum_{j_1 + \cdots + j_k = 0}^{n} a_{j_1,j_2,\dots,j_k} x_1^{j_1} \cdots x_k^{j_k}</math>. Hyväksymällä summauksen aloittaminen negatiivesta luvusta saadaan [[usean muuttujan Laurentin polynomit]].
▲Tietokoneiden numeerisessa laskennassa polynomit ovat usein korvattu kehittyneemmillä [[splini|splineillä]]. Splinit ovat paloittain määriteltyjä polynomeja ja ne tarjoavat joustavamman tavan approksimoida sileitä funktioita kuin polynomit. Splinejä käytetään [[splini-interpolointi|splini-interpoloinnissa]] ja [[tietokonegrafiikka|tietokonegrafiikassa]].
Jos hyväksytään myös äärettömän monitermiset polynomit, johdutaan [[analyysi]]ssä keskeisiin [[potenssisarja|potenssisarjoihin]].
[[Luokka:Analyysi]]
[[Luokka:Differentiaalilaskenta]]
[[Luokka:Algebra]]
| |||