Ero sivun ”Roottori (matematiikka)” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Lähde |
Palautettu ed muokkauksissa vahingossa poistunut kappale |
||
Rivi 12:
:<math> \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} </math>
nähdään, että jos [[magneettivuon tiheys|magneettivuon tiheyden]] '''B''' [[osittaisderivaatta|aikaderivaatta]] on nollasta poikkeava, on [[sähkökenttä|sähkökentässä]] pyörre eikä se siis ole konservatiivinen.
== Roottorin vaihtoehtoinen määritelmä ==
Roottori kuvaa siis vektorikentän pyörteisyyttä, mikä ei ole kovin intuitiivista matemaattisen määritelmän pohjalta. Vaihtoehtoisesti voidaan määritellä roottori [[Stokesin lause]]en kanssa ekvivalentisti. Tällöin sovitaan, että vektorikentän '''F''' roottorin suunta on sellainen, että roottoria vastaan kohtisuoran, äärettömän pienen pinta-alan ''dA'' ympäri suljettua silmukkaa pitkin kierrettäessä [[polkuintegraali]] <math>\oint_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{l} </math>
saa suurimman mahdollisen arvonsa, ja tämän integraalin arvo jaettuna pinta-alalla ''dA'' on roottorin pituus. Äärettömän pieni eli ''differentiaalinen'' pinta-ala on tässä polun ''C'' rajoittama, ja polku kierretään siten, että pinta ''dA'' on kulkusuuntaan nähden vasemmalla. Roottorin pituus voidaan kirjoittaa matemaattisesti
:<math>|\nabla \times \mathbf{F} | = \lim_{\Delta A \to 0} \frac{\oint_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{l}}{\Delta A} </math>,
missä raja-arvo kuvaa pinta-alan pienenemistä äärettömän pieneksi. Tämän määritelmän pohjalta voidaan geometrisestikin ymmärtää, miksi roottori kuvaa kentän pyörteisyyttä: roottorin suuruus kertoo, miten voimakkaasti kenttä suurimmillaan vaikuttaa differentiaalisen silmukan tangentiaaliseen komponenttiin koko polun matkalla. Esimerkiksi homogeenisen kentän (kaikkialla yhtä suuri ja samansuuntainen) polkuintegraali differentiaalista suljettua silmukkaa pitkin on aina nolla, joten kenttä on pyörteetön, kuten odottaa sopii. Kentän pyörteisyyden suunta saatiin siis oikean käden säännöllä. Stokesin lause seuraa määritelmästä lähes suoraan.
== Roottori käyräviivaisissa koordinaatistoissa ==
| |||