Ero sivun ”Wronskin determinantti” versioiden välillä

[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Jusba (keskustelu | muokkaukset)
Jusba (keskustelu | muokkaukset)
Rivi 23:
Jos funktiot ''f''<sub>''i''</sub> ovat lineaarisesti riippuvia, niin tällöin myös Wronskin determinantin sarakkeiden täytyy olla, sillä derivointi on lineaarinen operaatio ja tällöin determinantin arvoksi tulee nolla. Niinpä Wronskin determinanttia voi käyttää sen osoittamiseen, että jono derivoituvia funktioita on [[lineaarinen riippumattomuus|lineaarisesti riippumattomia]] tietyllä välillä. Tähän riittää se, että determinantin arvoksi saadaan jotain nollasta poikkeavaa.
 
Yleinen väärinkäsitys siitä, että ''W''&nbsp;=&nbsp;0 tarkoittaa aina lineaarista riippuvuutta, mutta {{harvtxt|[[Peano|]] painotti jo varhain ([[1889}}]]), pointedettä outon thatolemassa thefunktioita functionskuten ''x''<sup>2</sup> andja |''x''|''x'', havejoilla continuouson derivativesjatkuvat andderivaatat theirja Wronskianjoiden vanishesWronskin everywhere,determinanttien yetarvot theyovat are0 notkaikilla linearlyx:n dependentarvoilla, inja asilti neighborhoodne ofeivät 0.ole Therelineaarisesti areriippuvia severalnolla extraläheisyydessä. conditionsNiinpä whichtarvitaankin ensuremuutamia thatlisäehtoja thesille, vanishingettä ofWronskin thedeterminantin Wronskianarvo in0 anjollain intervaltietyllä impliesvälillä lineartarkoittaisi dependence.lineaarista riippuvuutta.
 
{{harvtxt|Peano|1889}} observed that if the functions are analytic, then the vanishing of the Wronskian in an interval implies that they are linearly dependent. {{harvtxt|Bochner|1901}} gave several other conditions for the vanishing of the Wronskian to imply linear dependence; for example, if the Wronskian of ''n'' functions is identically zero and the ''n'' Wronskians of ''n''–1 of them do not all vanish at any point then the functions are linearly dependent. {{harvtxt|Wolsson|1989a}} gave a more general condition that together with the vanishing of the Wronskian implies linear dependence.