Wikipedia

Ero sivun ”Fourier-muunnos” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
rv: perustelemattomia poistoja ja muutoksia
Rivi 1:
'''Fourier'n muunnos''' on [[Matematiikka | matematiikassa]] käytetty jatkuva [[integraalimuunnos]]. Muunnosta käytetään erityisesti [[analyysi]]ssä [[differentiaaliyhtälö]]iden ratkaisemisessa ja [[Signaalinkäsittely | signaalinkäsittelyssä]] erilaisiin taajuusanalyysiä vaativiin sovelluksiin. Muunnos perustuu oletukseen, että mikä tahansa [[Jatkuvuus | jatkuva]] riittävän säännöllinen [[funktio]] voidaan esittää [[siniaalto]]isten funktioiden [[integraali]]na ja [[diskreetti]]arvoinen funktio vastaavasti näiden [[summa]]na. Fourier'n muunnoksesta voidaan päätellä näiden sinimuotoisten komponenttien amplitudi ja vaihe.
 
== JohdantoMääritelmä ==
Funktion <math>f(x)\,</math> Fourier'n muunnos <ref>{{Kirjaviite | Tekijä = Kreyszig, Erwin| Nimeke = Advanced engineering mathematics| Vuosi = 1999 | Sivu = 570| Selite = 8. painos| Julkaisija = John Wiley & Sons| Tunniste = ISBN 0-471-15496-2 | Kieli = {{en}}}}</ref> <math>\hat f(\omega)</math> määritellään
Signaalit ovat aikasidonnaisia suureita, jotka yleensä esitetään aikatasossa.
:<math> \hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(tx) e^{-i\omega tx}\, dx </math>,▼
Seuraavassa esityksessä tarkastellaan aika-taajuustasoa ja lähtökohtana
on funktio (signaali) f(t).
 
missä <math>\omega\,</math> on [[kulmataajuus]]. Muoto <math>e^{-i\omega tx}\ </math> liittyy trigonometrisiin funktioihin siten, että kompleksieksponentin määritelmä on <math>e^{a + ib} = e^{a}(cos b + i sin b)\ </math>.▼
== '''Määritelmä''' ==
Funktion <math>f(t)\,</math> Fourier'n muunnos määritellään
▲:<math> \hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t}\, dx </math>,
 
▲missä <math>\omega\,</math> on [[kulmataajuus]].Muoto <math>e^{-i\omega t}\ </math> liittyy trigonometrisiin funktioihin siten, että kompleksieksponentin määritelmä on <math>e^{a + ib} = e^{a}(cos b + i sin b)\ </math>.
 
Fourier'n muunnokselle on olemassa '''käänteismuunnos''', joka määritelmän mukaiselle funktiolle on
 
:<math> f(tx)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat f(\omega) e^{i\omega tx}\, d \omega </math>.
 
Funktion <math>f(tx)\,</math> Fourier'n muunnoksesta voidaan käyttää myös vaihtoehtoista merkintätapaa <math> \mathcal{F}\{f(tx)\} = \hat f(tx)</math>. Tätä merkintää käytetään esimerkiksi differentiaalianalyysissä, jolloin halutaan selventää Fourier'n muunnoksen käyttäminen jonkin muun integraalimuunnoksen sijasta. Kirjallisuudessa esiintyy usein myös eri tavoin normalisoituja variaatioita muunnoksesta. Fourier-muunnettu funktio voidaan ajatella alkuperäisen funktion esityksenä taajuustasossa. Fourier-muunnetun funktion taajuuskomponenttia <math>\omega\,</math> vastaava '''amplitudi''' on
 
:<math> A(\omega) = | \hat f (\omega) |</math>
Rivi 23 ⟶ 18:
 
:<math> \phi(\omega) = \operatorname{arg} (\hat f(\omega))</math>.
Amplitudispektri antaa vaihespektriä enemmän tietoa - nähdään kaikki taajuuskomponentit ja niitä vastaavat määrät.
 
== Fourier'n muunnoksen ominaisuuksia yleisessä tapauksessa ==
 
Olkoon <math>f(x)\,</math>, <math>g(x)\,</math> ja <math>h(x)\,</math> integroituvia funktioita ja näitä vastaavat Fourier'n muunnokset <math>\hat{f}(\xi)</math>, <math>\hat{g}(\xi)</math> ja <math>\hat{h}(\xi)</math>. Fourier'n muunnoksella on seuraavat ominaisuudet <ref>{{kirjaviite|Tekijä=Pinsky, Mark |Vuosi=2002 | Nimeke=Introduction to Fourier Analysis and Wavelets| Julkaisija=Brooks/Cole| Tunniste=ISBN 0-534-37660-6 | Kieli={{en}}}}</ref>.
 
*'''Lineaarisuus'''
Rivi 42 ⟶ 36:
 
*'''Aikatason skaalaus'''
:::: Kaikille ei-negatiivisille [[Reaaliluku | reaaliluvuille]] <math>a</math> pätee, että jos <math>h(x) = f(a x)\ </math>, niin <math>\hat{h}(\xi)=\frac{1}{|a|}\hat{xf}\left(\frac{\xi}{a}\right)\ </math>. Kun <math>a = -1\ </math>, niin ominaisuus palautuu ''aikatason käännöksi''.
 
*'''Konjugaatio'''
Rivi 49 ⟶ 43:
*[[Konvoluutio]]
:::: Jos <math>h(x)=\left(f*g\right)(x)\ </math>, niin <math> \hat{h}(\xi)=\hat{f}(\xi)\cdot \hat{g}(\xi)\ </math>.
 
*Ominaisfunktiot
:::: Fourier'n muunnoksen ominaisfunktioita ovat [[Hermiten funktio]]t. T.s. näiden funktioiden Fourier'n muunnos on funktio itse, [[ominaisarvo]]lla kerrottuna.
 
== Sini- ja kosinimuunnos ==
 
Usein, erityisesti käytännön sovelluksissa, on tarpeen käsitellä pelkästään reaaliarvoisia lukuja. Tällöin [[Eulerin kaava]]n avulla nähdään, että Fourier'n muunnos koostuu sekä reaalisesta että imaginaarisesta osasta. Niitä voidaan tarkastella omina muunnoksinaan:
 
* sinimuunnos
:<math> \hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \sin (\omega x)\, f(x) dx \ </math>,
* kosinimuunnos
:<math> \hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \cos (\omega x)\, f(x) dx \ </math>.
 
 
== Diskreetti Fourier'n muunnos ==
Rivi 73 ⟶ 80:
[[MP3]]-äänenpakkausmenetelmässä äänen spektri, eli äänisignaalin taajuustasoesitys, lasketaan käyttäen FFT:tä (muunnettu DCT) ja spektri [[Tiedonpakkaus|pakataan]] (häviöllisesti) jättämällä pois spektrikomponentit, joiden energia on pieni. Spektriksi hajottamisesta on se etu, että eri taajuisille äänille voidaan käyttää eri tarkkuutta. Ihmisen kuulo erottaa tietyt taajuudet tarkemmin, jolloin ne voidaan pakata vähemmällä häviöllä. Purku tapahtuu käänteismuuntamalla eli syntetisoimalla spektri takaisin aikatasoon.
 
Terästeollisuudessa voidaan, tutkimalla valssatun nauhan paksuusprofiilia FFT:llä, löytää epäkeskeisesti hiotut valssit tai kuluneet laakerit. Laakereiden kunnon seurantajärjestemät perustuvat usein FFT:hen.
Fourier'n muunnoksen ominaisuutta '''modulaatio aikatasossa''' käytetään siirtämään signaalia taajuustasossa.
 
Fourier'n muunnoksen ominaisuutta '''modulaatio aikatasossa''' käytetään siirtämään signaalia taajuustasossa. Radiotekniikassa lähetettävä tai vastaanotettu signaali siiretään halutulle taajuusalueelle moduloimalla signaalia sekoitusasteessa [[oskillaattori|paikallisoskillaattorin]] signaalilla. Myös moduloimalla esimerkiksi yksittäistä [[siniaalto|sinimuotoista signaalia]] aikatasossa, sen värähtelytaajuutta voidaan kasvattaa tai pienentää. Tätä ominaisuutta käytetään hyväksi äänenkäsittelyssä yksittäisen äänen sävelkorkeuden korjaamiseksi{{lähde}}. Modulointitekniikalla tuotettu sävelkorkeuden korjaus ei nopeuta tai hidasta ääniraitaa kuten alkuperäisen ääniraidan suora skaalaaminen. Toisaalta, jos se kohdistetaan samalla kertaa useampaan eritaajuiseen signaaliin, niiden taajuussuhteet muuttuvat.
''' Esim.'''Ihminen kuulee ääniä, joiden taajuus vaihtelee välillä 20 Hz-20000 Hz. Jos radiolähetyksessä puhetta tai musiikkia lähetettäisiin radioaaltoina, joilla olisi sama taajuus, tarvittaisiin kilometrien pituiset antennit koska antennin pituus pitää olla vähintään kymmenesosa
 
radioaallon aallonpituudesta esim.10000 Hz:n sähkömagneettisen aallon aallonpituus on noin 30 km.
==Katso myös==
Ongelma ratkaistaan '' moduloimalla'' lähetettävää signaalia kantoaallolla esim. kosiniaallolla. Fourier-muunnoksen '' taajuussiirto-ominaisuuden '' perusteella lähettävän signaalin ja yhdistetyn signaalin (lähettävä signaali kertaa kantoaalto) spektrit eroavat riittävästi. Valitsemalla kantoaallon taajuus riittävän suureksi yhdistetty signaali voidaan lähettää ja vastaanottaa radioteitse ja se sisältää kaiken informaation, mikä sisältyy alkuperäiseen signaaliin.
*[[Fourier'n sarja]]
*[[Wavelet-muunnos]]
*[[z-muunnos]]
*[[Konvoluutio]]
 
==Viitteet==
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Fourier-muunnos”