Avaa päävalikko

Ryhmäteoriassa tekijäryhmä on tunnetusta ryhmästä ja sen normaalista aliryhmästä konstruoitu uusi ryhmä. Tekijäryhmälle käytetään yleensä merkintää ja tätä kutsutaan ryhmän tekijäryhmäksi modulo .[1] [2]

Tekijäryhmien merkitys ryhmäteoriassa perustuu siihen, että useat hyödylliset ryhmäteoreettiset ominaisuudet säilyvät siirryttäessä tarkastelemaan tekijäryhmiä. Toisaalta tekijäryhmän rakenne antaa myös tietoa alkuperäisen ryhmän rakenteesta. Esimerkiksi äärellisten ryhmien teoriassa usein käytetty todistustekniikka perustuu induktioon ryhmän kertaluvun suhteen. Tällöin tutkittavalle ryhmälle pyritään löytämään sopiva tekijäryhmä, johon induktio-oletusta voitaisiin soveltaa ja josta ominaisuus pyritään siirtämään takaisin alkuperäiseen ryhmään.

KonstruktioMuokkaa

Olkoon   ryhmä ja   sen aliryhmä. Määritellään aliryhmän   vasempien sivuluokkien joukolle

 

relaatio   seuraavasti:

  kaikilla  

Tutkitaan milloin kyseessä on funktio tarkastelemalla milloin kuva-alkio ei riipu sivuluokkien edustajien valinnasta. Olkoon   ja   mielivaltaisilla   Tällöin

  ja  

Nyt

 

jos ja vain jos

 

Yllä oleva yhtälö pätee täsmälleen silloin, kun   Koska alkio   oli mielivaltainen, niin relaatio   on funktio täsmälleen silloin, kun aliryhmä   on normaali eli   kaikilla  . Tällöin aliryhmän vasemmat ja oikeat sivuluokat ovat samat, jolloin joukko   on myös oikeiden sivuluokkien joukko. Suoraan määritelmästä nähdään, että joukko   on binäärioperaation neutraalialkio, alkion   käänteisalkio on alkio   ja että operaatio on assosiatiivinen. Siis pari   on ryhmä.

Toinen konstruktioMuokkaa

Olkoon joukot   ryhmän   alkioiden ei-tyhjiä osajoukkoja. Määritellään joukkojen   ja   tulo joukkona

 

Tämä tulo määrittelee nyt assosiatiivisen binäärioperaation ryhmän   alkioiden ei-tyhjien osajoukkojen joukolle. Jos   ja  , niin

 

eli kahden vasemman sivuluokan tulo on vasen sivuluokka. Täten joukolle   voidaan määritellä assosiatiivinen binäärioperaatio joukkojen tulon avulla. Kuten aikaisemmassakin esimerkissä, niin tämän binäärioperaation neutraalialkio on joukko   ja alkion   käänteisalkio on sivuluokka  

EsimerkkiMuokkaa

Kokonaisluvut   muodostavat ryhmän yhteenlaskun suhteen. Olkoon   mielivaltainen kokonaisluku ja joukko

 

luvun   monikertojen joukko. Tällöin aliryhmäkriteerin nojalla   ja koska kyseessä on Abelin ryhmä, niin   Nyt tekijäryhmä   on kertalukua   oleva syklinen ryhmä, jota kutsutaan kokonaislukujen yhteenlaskuryhmäksi modulo  

OminaisuuksiaMuokkaa

  • Kuvausta   kutsutaan luonnolliseksi homomorfiaksi. Kuvaus   on surjektio ja sen ydin on sivuluokka  . Täten   mikä on eräs erikoistapaus homomorfismien peruslauseesta. Tämä osoittaa myös, että ryhmän   aliryhmä   on normaali jos ja vain jos on olemassa sellainen ryhmä   ja sellainen homomorfismi  , että aliryhmä   on ryhmän homomorfismin   ydin.
  • Jokaisella ryhmällä   on triviaalit tekijäryhmät   ja  
  • Mikäli normaalilla aliryhmällä   on äärellinen määrä sivuluokkia ryhmässä  , niin tekijäryhmän   kertaluku on sivuluokkien lukumäärä eli Lagrangen indeksilauseen nojalla
 
  • Syklisen ryhmän jokainen tekijäryhmä on syklinen.
  • Abelin ryhmän jokainen tekijäryhmä on Abelin ryhmä.
  • Nilpotentin ryhmän jokainen tekijäryhmä on nilpotentti.
  • Ratkeavan ryhmän jokainen tekijäryhmä on ratkeava.
  • Derivaattaryhmä   jos ja vain jos   ja tekijäryhmä   on Abelin ryhmä. Täten derivaattaryhmä on suppein normaaleista aliryhmistä, joiden tekijäryhmä kommutoi.
  • Jos   niin   jos ja vain jos   Tällöin lisäksi   jos ja vain jos  
  • Ryhmällä voi olla tekijäryhmiä, jotka eivät ole isomorfisia minkään aliryhmän kanssa. Toisaalta esimerkiksi jos   ja on olemassa sellainen  , että   ja   niin
 

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 382. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
  2. Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 202–204. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.