Suoristuva joukko

Suoristuvat joukot ovat mittateorian sovelluksissa käytettävä joukkotyyppi, joilla on paljon sileiden monistojen ominaisuuksia mittateoreettisessa mielessä. Suoristuvuutta käytetään erityisesti fraktaalien teoreettisessa tutkimuksessa.

MääritelmäMuokkaa

Olkoon   ja  . Nyt joukko E on m-suoristuva, jos on olemassa Lipschitz-kuvaukset  , joilla

 

missä   on m-ulotteinen Hausdorffin mitta.

Toisin sanoen m-suoristuvaa joukkoa voidaan approksimoida Lipschitz-kuvausten kuvajoukoilla mittateoreettisessa mielessä tarkasti.

Kirjallisuudessa joukkoa   sanotaan puhtaasti m-epäsuoristuvaksi, jos jokaisella m-suoristuvalla   pätee

 

Epäsuoristuvuutta ja puhtaasti epäsuoristuvuutta ei tule sekoittaa keskenään. Nimittäin on olemassa joukkoja, jotka eivät ole puhtaasti epäsuoristuvia, mutta ovat epäsuoristuvia (esimerkiksi puhtaasti epäsuoristuvan ja suoristuvan joukon erillinen yhdiste). Toisaalta voidaan osoittaa, että jokainen joukko   voidaan jakaa puhtaasti m-epäsuoristuvaan ja m-suoristuvaan osaan.

EsimerkkejäMuokkaa

Approksimatiivinen tangenttiMuokkaa

Olkoon  ,   ja   affiini kuvaus. Olkoon lisäksi   ja joukko

 

missä   on pisteen x etäisyys joukosta  .

Määritellään, että   on joukon   approksimatiivinen tangentti pisteessä  , jos jokaisella   on raja-arvo

 

Voidaan osoittaa, että m-suoristuvilla joukoilla on approksimatiivinen tangentti  -melkein jokaisessa pisteessä  .