Rollen lause

Rollen lause on erikoistapaus differentiaalilaskennan Cauchyn väliarvolauseesta, jonka todistuksessa Rollen lausetta hyödynnetään. Lauseen julkaisi ensimmäisenä Michel Rolle vuonna 1691.

Rollen lauseen havainnollistus.

Rollen lauseen mukaan suljetulla välillä jatkuvan ja avoimella välillä derivoituvan funktion derivaatta saa arvon jossain avoimen välin pisteessä , mikäli funktio saa saman arvon suljetun välin päätepisteissä ja . [1] Tämä voidaan ilmaista formaalisti muodossa

TodistusMuokkaa

Oletuksen nojalla funktio   on jatkuva välillä  , joten Weierstrassin lauseen mukaan se saa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Jos suurin ja pienin arvo saavutetaan välin päätepisteissä   ja  , niin kyseessä on vakiofunktio ja derivaatta   jokaisessa välin pisteessä.

Oletetaan sitten, että kyseessä ei ole vakiofunktio ja maksimi saavutetaan välin   pisteessä  . Osoitetaan, että tässä pisteessä  . Käsitellään erikseen vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat.

(i) Käsitellään ensin vasemmanpuoleiset derivaatat. Jos  , niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

 

sillä osoittaja on positiivinen, koska   on funktion suurin arvo. Samoin nimittäjä on positiivinen, koska  . Siten myös erotusosamäärän raja-arvolle eli derivaatalle pätee epäyhtälö

 

Tämä perustuu siihen, että funktio   on derivoituva, jolloin sekä vasemman- että oikeanpuoleiset derivaatat ovat olemassa.

(ii) Käsitellään sitten oikeanpuoleiset derivaatat. Jos  , niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

 

sillä osoittaja on positiivinen, koska   on funktion suurin arvo, ja nimittäjä on negatiivinen, koska  . Funktion derivaatta toteuttaa nyt epäyhtälön

 

(iii) Koska funktio   on derivoituva pisteessä  , niin erotusosamäärän vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen tulee olla yhtäsuuret. Yhtäsuuruus toteutuu vain, kun sekä kohdan (i) että kohdan (ii) raja-arvot ovat nollia. Tästä päätellään, että

 

Kun merkitään  , niin todistus on päätöksessään.  

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 350–351 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
 
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Rollen lause.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.