Rieszin esityslause

Funktionaalianalyysissä on useita Rieszin esityslauseita.

Hilbertin avaruus

$f$ on rajoitettu lineaarinen funktionaali Hilbertin avaruudessa X jos ja vain jos on olemassa yksikäsitteinen vektori $y\in X$ jolle $f_{y}(x)=\langle x,y\rangle$ kaikilla $x\in X$. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että $X$:n konjugaattiavaruudelle ${\tilde {X}}$ on voimassa ${\tilde {X}}=\{f_{y}(x)=(x,y)|y\in X\}.$

Lineaaristen funktionaalien esityslause C_c(X):ssä

Seuraava lause esittää positiivisia lineaarisia funktionaaleja C_c(X):ssä, kompaktissa joukossa jatkuvia komleksifunktioita. Borelin joukko viittaa σ-algebraan, jonka virittää avoimet joukot.

Epänegatiivinen additiivinen Borelin mitta μ lokaalisti kompaktissa Hausdorffin avaruudessa X on säännöllinen jos ja vain jos

• μ(K) < ∞ kaikilla kompakteilla joukoilla K;

• Kaikilla Borel-joukoilla E,

$\mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\mbox{ avoin}}\}$

• Ehto

$\mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\mbox{ kompakti}}\}$

on voimassa kun E on avoin tai E on Borel ja μ(E) < ∞.

Lause. Olkoon X lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus. Kaikille joukossa C_c(X) määritellyille positiivisille lineaarisille funktionaaleille ψ on olemassa yksikäsitteinen Borel-säännöllinen mitta μ X:ssä, jolle

$\psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\quad$

kaikilla C_c(X)-funktioilla f.

Aiheesta muualla

• Bachman, Narici: Functional analysis