Radon-mitta

Radon-mitat ovat lokaalisti kompakteissa Hausdorffin avaruuksissa tärkeä mittatyyppi. Radon-mitat ottavat huomioon erityisesti avaruuden topologian niin, että Radon-mitan antama arvo vastaa enemmän intuitiivista tulkintaa koosta. Tärkeitä Radon-mittoja ovat mm. Lebesguen mitta, Hausdorffin mitat ja Haarin mitta.

Määritelmä

Olkoon $(X,{\mathcal {T}})$ lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus ja $\mu$ Borel-mitta X:ssä. Nyt $\mu$ on Radon-mitta, jos se toteuttaa seuraavat ehdot:

1. $\mu (K)<\infty$ kaikilla kompakteilla $K\subset X$.
2. $\mu (U)=\sup\{\mu (K):K\subset U{\mbox{ ja }}K\subset X{\mbox{ kompakti}}\}$ kaikilla avoimilla $U\subset X$.
3. $\mu (B)=\inf\{\mu (U):B\subset U{\mbox{ ja }}U\subset X{\mbox{ avoin}}\}$ kaikilla Borel-joukoilla $B\subset X$.

Sovelluksia

• Frostmanin lemma
• Mittojen heikko suppeneminen
• Rieszin esityslause