Pedaalinen kolmio

(Ohjattu sivulta Pedaalinen piste)

Pedaalinen kolmio (engl. pedal triangel [1]) on geometriassa kolmioon, annetun pisteen P avulla, muodostettu uusi kolmio. Pistettä P voidaan kutsua pedaaliseksi pisteeksi (engl. pedal triangel [2]) ja siinä leikkaavat kolme eri kolmion sivuja leikkaavaa normaalia. Pedaalinen kolmio syntyy, kun normaalien kantapisteet yhdistetään janoilla kolmioksi.[3]

Pedaalinen piste (sininen) toimii normaalien (pisteviivat) leikkauspisteenä, ja normaalien kantapisteet (harmaat) ovat pedaalisen kolmion (punainen) kärkinä.

Kolmion ominaisuuksia muokkaa

 
Mikäli pedaalinen piste sijaitsee kolmion ulkopuolella, osuvat normaalit (katkoviivat) joskus sivujen jatkeille.

Pedaalinen kolmio on kolmion sisäkolmio, kun kantapisteet sattuvat kaikki kolmion sivuille. Mikäli pedaalinen piste sijaitsee tarpeeksi kaukana kolmion ulkopuolella, osuvat normaalit (katkoviivat) sivujen jatkeille.

Seuraavissa kaavoissa pätevät seuraavat merkinnät. Alkuperäisen kolmion   sivut ovat a = BC, b = AC ja c = AB sekä pinta-ala  . Kärkien A, B ja C kulmia ovat   ja  . Pedaalisen kolmion   sivut ovat a' = B'C', b' = A'C' ja c' = A'B'. Kolmion   ympäröivän ympyrän säde on R ja sen pedaalisen pisteen trilineaariset koordinaatit ovat P = x : y : z.

Trilineaariset koordinaatit muokkaa

Kolmion   pedaalisen kolmion   trilineaariset koordinaatit ovat

 
  ja
  [3]

Pedaalikolmion sivut muokkaa

Pedaalikolmion sivun pituus

 

.

  ja

.

  [1]

Pedaalikolmion ala muokkaa

Pedaalikolmion pinta-ala on

  [1]

Pedaalisia kolmioita muokkaa

Pedaalisten kolmioiden muoto riippuu sekä isäntäkolmion muodosta että normaalien leikkauspisteen P paikasta. Kolmiot voidaan kuitenkin luetteloida käyttäen leikkauspistettä indeksinä.

Pedaalikolmion rajatapaus lienee Simsonin jana, joka syntyy, kun pedaalipiste viedään kolmion ulkopuolelle. Ulkopuolinen pedaalipiste tekee pedaalikolmiosta tylppäkulmaisen ja lopulta, kun pedaalipiste osuu kolmion ympäröivälle ympyrälle, kapenee janaksi.

Katso myös muokkaa

Lähteet muokkaa

Viitteet muokkaa

  1. a b c d Weisstein, Eric W.: Pedal Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. Weisstein, Eric W.: Pedal Point (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
  4. a b c d e f g Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  5. Weisstein, Eric W.: Medial Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. Weisstein, Eric W.: Orthic Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. Weisstein, Eric W.: Extouch Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)