Avaa päävalikko

Ryhmäteoriassa normaali aliryhmä on aliryhmä, joka toteuttaa kaikilla ehdon

eli mielivaltaisen alkion määräämät vasen ja oikea sivuluokka ovat samat. Aliryhmärelaatiota merkitään Normaalien ryhmien olemassaolo vaikuttaa suuresti ryhmän rakenteeseen. Lisäksi normaalien aliryhmien avulla voidaan konstruoida tekijäryhmiä. [1]

NormaaliuskriteeriMuokkaa

Mikäli  , niin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä

  • aliryhmä   on normaali ryhmässä  ,
  • kaikilla   pätee, että  ,
  • kaikilla   pätee, että  ,
  •   ja
  • on olemassa sellainen ryhmä   ja sellainen homomorfismi  , että aliryhmä   on ryhmän homomorfismin   ydin eli
 

Koska ehdot ovat yhtäpitäviä, voitaisiin niistä mikä tahansa valita normaalin aliryhmän määritelmäksi. Monissa ryhmää vastaavissa algebran rakenteissa otetaan käyttöön viimeisen väitteen analogia, kun halutaan määritellä normaalia aliryhmää vastaava rakenne. Esimerkiksi luupeissa normaalin aliluupin määritelmä on usein helpointa tehdä luuppihomomorfismien avulla. Toisaalta kommutativiisia renkaita tutkittaessa normaalia aliryhmää vastaava rakenne on ideaali. Vaikka ideaalin määritelmä ei suoraan muistuta normaalin aliryhmän määritelmää, niin kommutatiivisen ryhmän osajoukko on ideaali jos ja vain jos se on jonkin rengashomomorfismin ydin.

Todistus eräälle normaaliuskriteerilleMuokkaa

Monesti aliryhmän normaalius selvitetään käyttämällä nk. normaaliuskriteeriä, jonka mukaan ryhmän   aliryhmä   on normaali, jos ja vain jos  

Tämä normaaliuskriteeri voidaan todistaa seuraavasti: Oletetaan aluksi, että   on ryhmän   normaali aliryhmä. Koska sivuluokat yhtyvät, voidaan valita mielivaltaiset sivuluokkien alkiot  , missä  . Kertomalla tämä alkion   käänteisalkiolla, saadaan   Oletetaan sitten väitteen oikea puoli todeksi ja tutkitaan alkiota   Osoitetaan, että  . Valitaan   ja merkitään  , jossa  . Kertomalla oikealta alkiolla   saadaan  . Siis  . Tehdään samoin korvaamalla alkio   alkiolla käänteisalkiollaan. Siis  ,  , josta saadaan   eli  . Kokonaisuudessaan siis  , eli aliryhmä   on normaali.

Esimerkkejä ja ominaisuuksiaMuokkaa

  • Triviaali aliryhmä   ja ryhmä itse ovat aina ryhmän normaaleja aliryhmiä.
  • Ryhmän keskus   on aina normaali ryhmässä  
  • Ryhmän derivaattaryhmät  , missä   ovat aina normaaleja ryhmässä  
  • Abelin ryhmän jokainen aliryhmä on normaali.
  • Jos aliryhmän   indeksi ryhmässä on 2, niin  
  • Jos ryhmän   on äärellinen, p on ryhmän   kertaluvun pienin alkutekijä ja aliryhmän   indeksi ryhmässä on p, niin  
  • Jos   niin aliryhmän   alkiot melkein kommutoivat muiden aliryhmään kuulumattomien alkioiden kanssa sillä jos   ja   niin on olemassa sellainen alkio   että  

LähteetMuokkaa

  1. Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 200–202. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.