Laplace-muunnos
Laplace-muunnos (Laplacen muunnos) on eräs yleisimmin käytetyistä integraalimuunnoksista. Muunnoksella on käytännön sovelluksia monilla fysiikan osa-alueilla, erityisesti elektroniikassa sekä matematiikassa todennäköisyyslaskennassa. Laplace-muunnosta voidaan käyttää myös differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtävien ratkaisemiseen.[1]
Mielivaltaisen funktion f(t), joka on määritelty kaikilla t>0, Laplace-muunnos määritellään integraalina:
- ,
missä .[1] Joskus käytetään myös kaksipuolista muotoa:
Yleisessä tapauksessa muunnoksen argumentti on kompleksiluku: , missä on imaginääriyksikkö ja . Laplace-muunnoksen käänteismuunnos tunnetaan Bromwichin integraalina. Se on kompleksinen integraali:
Laplace-muunnoksen ominaisuuksia
muokkaa- Laplace-muunnos on selvästi lineaarinen:
- Kahden funktion konvoluution Laplace-muunnos:
- Signaalinkäsittelyssä käytännöllinen on alku- ja loppuarvoteoreema:
- Erityisen kiintoisa on funktion derivaatan Laplace-muunnos:
Tämän ominaisuuden avulla differentiaaliyhtälö voidaan muuttaa algebralliseksi yhtälöksi, jonka ratkaiseminen on tyypillisesti paljon differentiaaliyhtälöä yksinkertaisempaa.
Yleensä on Laplace-muunnosta käytettäessä kätevää käyttää valmiita muunnoskaavoja, joita on taulukoitu erilaisille funktioille. Seuraavassa on keskeisimpiä:[2],[3]
Funktio | Laplace-muunnos | Rajoitteet |
---|---|---|
1 | s>0 | |
s>0 | ||
s>0 | ||
s>0 | ||
s>0 | ||
s>0 |
Katso myös
muokkaaLähteet
muokkaa- ↑ a b Kekäläinen, P.: ”3. Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö”, Differentiaaliyhtälöt, s. 72. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, 2000. ISBN 951-39-0810-0
- ↑ a b Kekäläinen, P.: ”3. Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö”, Differentiaaliyhtälöt, s. 73. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, 2000. ISBN 951-39-0810-0
- ↑ Valtanen, E.: ”20. Laplace-muunnokset”, Matematiikan ja fysiikan käsikirja, s. 152–153. Genessis-Kirjat Oy, 2007. ISBN 978-952-9867-28-8
Kirjallisuutta
muokkaa- Väisälä, Kalle: Matematiikka V: Laplace-muunnos. Espoo: Otakustantamo, 1980 (1965). ISBN 951-671-020-4
- Oppenheim, Alan V.; Willsky Alan S.; with Nawab, Syed Hamid: Signals and Systems, s. 1–957. Prentice-Hall Signal Processing Series, 1997 (1983). ISBN 0-13-651175-9
Aiheesta muualla
muokkaa- Laplace- ja Fourier-muunnoksia online (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)
- Luettelo funktioiden Laplace-muunnoksista ja käänteismuunnoksista (englanniksi)
- Toinen luettelo eri funktioiden Laplace-muunnoksista (englanniksi)