Laplace-muunnos

matemaattinen integraalimuunnos

Laplace-muunnos (Laplacen muunnos) on eräs yleisimmin käytetyistä integraalimuunnoksista. Muunnoksella on käytännön sovelluksia monilla fysiikan osa-alueilla, erityisesti elektroniikassa sekä matematiikassa todennäköisyyslaskennassa. Laplace-muunnosta voidaan käyttää myös differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtävien ratkaisemiseen.[1]

Mielivaltaisen funktion f(t), joka on määritelty kaikilla t>0, Laplace-muunnos määritellään integraalina:

,


missä .[1] Joskus käytetään myös kaksipuolista muotoa:


Yleisessä tapauksessa muunnoksen argumentti on kompleksiluku: , missä on imaginääriyksikkö ja . Laplace-muunnoksen käänteismuunnos tunnetaan Bromwichin integraalina. Se on kompleksinen integraali:


Laplace-muunnoksen ominaisuuksia

muokkaa
 


 


  • Signaalinkäsittelyssä käytännöllinen on alku- ja loppuarvoteoreema:
 


 


  • Erityisen kiintoisa on funktion derivaatan Laplace-muunnos:
 [2]


Tämän ominaisuuden avulla differentiaaliyhtälö voidaan muuttaa algebralliseksi yhtälöksi, jonka ratkaiseminen on tyypillisesti paljon differentiaaliyhtälöä yksinkertaisempaa.

Yleensä on Laplace-muunnosta käytettäessä kätevää käyttää valmiita muunnoskaavoja, joita on taulukoitu erilaisille funktioille. Seuraavassa on keskeisimpiä:[2],[3]

Funktio Laplace-muunnos Rajoitteet
1   s>0
     
    s>0
    s>0
    s>0
    s>0
    s>0


Katso myös

muokkaa

Lähteet

muokkaa
  1. a b Kekäläinen, P.: ”3. Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö”, Differentiaaliyhtälöt, s. 72. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, 2000. ISBN 951-39-0810-0
  2. a b Kekäläinen, P.: ”3. Toisen kertaluvun lineaarinen yhtälö”, Differentiaaliyhtälöt, s. 73. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, matematiikan laitos, 2000. ISBN 951-39-0810-0
  3. Valtanen, E.: ”20. Laplace-muunnokset”, Matematiikan ja fysiikan käsikirja, s. 152–153. Genessis-Kirjat Oy, 2007. ISBN 978-952-9867-28-8

Kirjallisuutta

muokkaa
  • Väisälä, Kalle: Matematiikka V: Laplace-muunnos. Espoo: Otakustantamo, 1980 (1965). ISBN 951-671-020-4
  • Oppenheim, Alan V.; Willsky Alan S.; with Nawab, Syed Hamid: Signals and Systems, s. 1–957. Prentice-Hall Signal Processing Series, 1997 (1983). ISBN 0-13-651175-9

Aiheesta muualla

muokkaa
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.