Lagrangen kertoimet

Lagrangen menetelmä on ranskalaisen matemaatikon Joseph-Louis Lagrangen mukaan nimetty menetelmä yhtälörajoitetun optimointitehtävän ratkaisemiseksi.

MääritelmäMuokkaa

Olkoon   minimointitehtävän kohdefunktio ja   rajoite-ehtofunktio. Tarkastellaan näiden määrittämää rajoiteoptimointititehtävää

 
 

Tehtävä voidaan kirjoittaa muodossa, jota kutsutaan Lagrangen funktioksi  

 

Kertoimia   kutsutaan Lagrangen kertoimiksi. Esitetyn optimointitehtävän käypä eli rajoite-ehdot täyttävä ratkaisu löydetään Lagrangen funktion   ääriarvopisteessä  , jossa siis  . Voidaan tulkita, että kertoimet ohjaavat ratkaisun rajoite-ehtojen määräämään käypään joukkoon.

EsimerkkiMuokkaa

Minimointitehtävä   ratkaistaan seuraavasti:

  • kirjoita tehtävä funktiona  
  • etsi osittaisderivaatat muuttujien   ja   suhteen
  • ratkaise derivaattojen nollakohdat yhtälöryhmästä

Langrangen funktio esimerkille

 

Etsitään osittaisderivaatat ja niiden muodostama yhtälöryhmä

 

Ratkaistaan saadusta yhtälöryhmästä ääriarvopisteet ( ,  ,  ) algebran menetelmin (ratkaisemalla derivaattojen nollakohdat yhtälöryhmästä).

MenetelmäMuokkaa

Olkoon   minimointitehtävän kohdefunktio ja   rajoite-ehtofunktio. Kutsutaan ehdon   määräämien pisteiden joukkoa käyräksi  . Olkoot funktiot derivoituvia kaikkien muuttujiensa suhteen käyrän   pisteissä. Oletetaan myös, että kohdefunktio   on derivoituva tehtävän ratkaisupisteen   ympäristössä. Kun lisäksi oletetaan, että piste   ei ole käyrän   päätepiste, ja gradientti  , on olemassa sellainen luku   niin, että piste   on ns. Lagrangen funktion  

 

kriittinen piste. Toisin sanoen funktion   käyrällä   sijaitsevat ääriarvot voidaan löytää etsimällä Lagrangen funktion ääriarvot. Ääriarvot löydetään ratkaisemalla funktion   osittaisderivaatojen nollakohta

 
 
 

eli

 

Geometrinen tulkintaMuokkaa

 
Kohdefunktion   ja rajoitusehdon   gradientit Lagrangen funktion ratkaisupisteessä.

Lagrangen kerroin   voidaan nähdä skaalaustekijänä, jolla rajoitusehdon gradienttivektoria   tulee kertoa, että siitä tulee yhtä pitkä kuin kohdefunktion gradienttivektorista   optimointitehtävän ratkaisupisteessä. Tulkinta yleistyy useamman rajoitusehdon tapaukseen, jolloin aktiivisia rajoitusehtoja vastaavat kertoimet   valitaan niin, että niiden lineaarikombinaatio vastaavien gradienttien kanssa kumoaa kohdefunktion gradientin.

HerkkyystulkintaMuokkaa

Herkkyystulkinnassa tarkastellaan, miten kohdefunktion arvo muuttuu, kun yhtälörajoitetta muutetaan. Tarkastellaan   muotoista tehtävää, missä  . Lagrangen kerroin ilmaisee kunka paljon kohdefunktion arvo muuttuu yhtälörajoituksen muuttuessa eli

 

missä   tarkoittaa gradienttia rajoitusehdon muutoksen suhteen.

Esimerkki: pisteen etäisyys suorastaMuokkaa

 
Pisteen   etäisyys suoralta.

Esitetään tehtävä matemaattisessa muodossa ja ratkaistaan se Lagrangen menetelmällä. Olkoon piste   ja suora  , missä   ovat mielivaltaisia vakioita.

Minimoidaan etäisyyden funktio

 

ehdolla

 

Suoran yhtälö on siis optimointitehtävän ehto.

Muodostetaan etäisyysfunktiosta ja ehdosta Lagrangen funktio

 

Ratkaistaan funktion   ääriarvot muuttujien  ,   ja   suhteen etsimällä osittaisderivaattojen nollakohdat:

 

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  • Robert A. Adams (1999), Calculus: A Complete Course 5. painos, Addison Wesley Longman, ISBN 0-201-79131-5.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.