LU-hajotelma
LU-hajotelma on matriisihajotelma, joka perustuu ideaan, että jokainen neliömatriisi voidaan esittää ylä- ja alakolmiomatriisien tulona.[1] Tällöin siis matriisi
missä on alakolmiomatriisi ja yläkolmiomatriisi. Lisäksi vaaditaan, että matriisin diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Alakolmiomatriisilla tarkoitetaan matriisia, jossa päädiagonaalin yläpuolella kaikki alkiot ovat nollia, ja yläkolmiomatriisilla vastaavasti matriisia, jossa päädiagonaalin alapuolella kaikki alkiot ovat nollia. Esimerkiksi -matriisille LU-hajotelma on siis
LU-hajotelma on käytännöllinen, sillä kolmiomatriisien käsittely esimerkiksi numeerisesti on yleensä paljon mielivaltaisen matriisin käsittelyä helpompaa.
Käyttö determinantin laskemiseen
muokkaaLU-hajotelman avulla matriisin determinantti saadaan välittömästi, sillä se on matriisin diagonaalialkoiden tulo eli
Käyttö käänteismatriisin laskemiseen
muokkaaMyös käänteismatriisi saadaan laskettua LU-kehitelmästä helposti ratkaisemalla yhtälöryhmä
missä kukin on pystyrivivektori, jonka i:s alkio on ykkönen ja kaikki muut nollia ja kukin on muodostuvan käänteismatriisin i:s pystyrivi.
Katso myös
muokkaa- QR-hajotelma – toinen yleinen tapa muuntaa matriisi helppojen matriisien tuloksi
- Choleskyn hajotelma – LU-hajotelman kaltainen hajotelma, joka hyödyntää lisäksi matriisin symmetrisyyttä
Lähteet
muokkaa- ↑ Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 687–689 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
Kirjallisuutta
muokkaa- Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8