LU-hajotelma

LU-hajotelma on matriisihajotelma, joka perustuu ideaan, että jokainen neliömatriisi voidaan esittää ylä- ja alakolmiomatriisien tulona.[1] Tällöin siis matriisi

missä on alakolmiomatriisi ja yläkolmiomatriisi. Lisäksi vaaditaan, että matriisin diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Alakolmiomatriisilla tarkoitetaan matriisia, jossa päädiagonaalin yläpuolella kaikki alkiot ovat nollia, ja yläkolmiomatriisilla vastaavasti matriisia, jossa päädiagonaalin alapuolella kaikki alkiot ovat nollia. Esimerkiksi -matriisille LU-hajotelma on siis

LU-hajotelma on käytännöllinen, sillä kolmiomatriisien käsittely esimerkiksi numeerisesti on yleensä paljon mielivaltaisen matriisin käsittelyä helpompaa.

Käyttö determinantin laskemiseenMuokkaa

LU-hajotelman avulla matriisin   determinantti saadaan välittömästi, sillä se on matriisin   diagonaalialkoiden tulo eli

 

Käyttö käänteismatriisin laskemiseenMuokkaa

Myös käänteismatriisi saadaan laskettua LU-kehitelmästä helposti ratkaisemalla yhtälöryhmä

 

missä kukin   on pystyrivivektori, jonka i:s alkio on ykkönen ja kaikki muut nollia ja kukin   on muodostuvan käänteismatriisin i:s pystyrivi.

Katso myösMuokkaa

  • QR-hajotelma – toinen yleinen tapa muuntaa matriisi helppojen matriisien tuloksi
  • Choleskyn hajotelma – LU-hajotelman kaltainen hajotelma, joka hyödyntää lisäksi matriisin symmetrisyyttä

LähteetMuokkaa

  1. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 687–689 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

KirjallisuuttaMuokkaa

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.