Avaa päävalikko

Maalijoukko

(Ohjattu sivulta Lähtöjoukko)
Funktio (f) joukosta X (vasemmalla) joukkoon Y (oikealla). Pienempi soikio Y:n sisäpuolella on funktion f arvojoukko. Y on f:n maalijoukko.

Matematiikassa funktion maalijoukko tarkoittaa sitä joukkoa, jossa on funktion kuvauksessa saatavia alkioita. Matemaattisessa merkinnässä

joukko tarkoittaa kuvauksen määrittelyjoukkoa ja tarkoittaa maalijoukkoa. [1]

Arvojoukko maalijoukossaMuokkaa

Funktion eli kuvauksen määritelmä on laadittu siten, että kaksi funktiota ovat samat vain, kun kaikki on samaa:

  • lähtöjoukko   on alkiolleen sama kummassakin kuvauksessa
  • maalijoukko   on alkiolleen sama kummassakin kuvauksessa
  • kuvauksen sääntö kuvaa kummassakin kuvauksessa kaikki samat lähtöjoukon alkiot samoiksi maalijoukon alkioiksi

Tämän vuoksi maalijoukon sisältö ja funktion arvojoukko siinä tulee tuntea tarkoin.

Arvojoukko on usein maalijoukon osajoukko. Tällöin funktio on injektio.

Joskus funktion arvojoukkoa käytetään maalijoukon synonyyminä, mutta sitä se ei ole. Jos maalijoukko on sama kuin arvojoukko, kuvautuu kaikki määrittelyjoukon alkiot jollekin maalijoukon alkioksi, toisin sanoen, kaikille maalijoukon arvoille voidaan osoittaa jokin määrittelyjoukon alkio.

EsimerkkejäMuokkaa

Määritellään toisen asteen potenssifunktio seuraavasti

 , missä  

Lähtöjoukko sisältää kaikki reaaliluvut ja niillä kaikilla voidaan laskea lausekkeen   arvo. Lähtöjoukko kelpaa siten määrittelyjoukoksi. Kun kaikilla lähtöjoukon luvuilla lasketaan funktion arvot, saadaan vain reaaliluvut  , joka on reaalilukujen   osajoukko. Kuvaus EI ole injektio eikä surjektio. Injektion määritelmän mukaan  , kun  . Tämä ei toteudu funktiolla  , sillä esimerkiksi  . Surjektion määritelmän mukaan   on surjektio, jos   eli funktion maalijoukko on sama kuin sen arvo- eli kuvajoukko. Funktion   arvojoukko on kaikki positiiviset reaaliluvut, mutta maalijoukoksi on määritelty kaikki reaaliluvut, myös negatiiviset. Funktiosta   voi kuitenkin "pakottaa" surjektion määrittelemällä maalijoukon uudelleen:

Määritellään funktio hieman muuntaen seuraavasti

 , missä  

Kuvaus on tällä kertaa surjektio ja samalla maalijoukko on tietenkin myös arvojoukko, koska kaikki maalijoukon alkiot osallistuvat kuvaukseen kerran (nolla) tai kaksi kertaa (x > 0).

Kolmannen asteen potenssifunktio

 , missä  

on jo lausekkeen takia valmiiksi injektio ja surjektio. Funktio on tällöin bijektio, jossa kaikki maalijoukon alkiot kuvautuvat tietyksi maalijoukon alkioksi.

Yhdistetty funktioMuokkaa

Yhdistetyn funktion maalijoukoksi tulee "viimeisen funktion" maalijoukko. Funktio   on määritelty

 

ja funktio   on määritelty

 .

Tällöin voidaan määrittää yhdistetty funktio  

  siten, että  .

Funktion arvot lasketaan ensin   ja sitten   avulla. Ensin valitaan luku lähtöjoukosta   ja lasketaan se funktion   lausekkeella, jolloin saadaan maalijoukon   arvo. Saatu arvo lasketaan se funktion f lausekkeella, jolloin saadaa maalijoukon   arvo.

LähteetMuokkaa

ViitteetMuokkaa

  1. Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 18–19. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.

KirjallisuuttaMuokkaa

  • Merikoski, Jorma; Virtanen, Ari; Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.