Konservatiivinen kenttä

Konservatiivinen kenttä on vektorikenttä F, jolle pätee

missä:

  • on suljettu polku, jota pitkin integroidaan

Jos F(x) on voimakenttä, tarkoittaa yllä oleva tulos, että tehty työ on nolla. Toisin sanoen työ riippuu vain polun alku- ja loppupisteistä, ei itse polusta. [1] Esimerkki konservatiivisesta voimakentästä on painovoima.

Konservatiivinen kenttä ja skalaarikentän gradienttiMuokkaa

Konservatiiviselle vektorikentälle voidaan kirjoittaa   jollekin skalaarikentälle  . Mikäli F(x) on voimakenttä, on   potentiaalienergia (miinusmerkki on konventio; potentiaalienergia käsitetään sopimuksenmukaisesti negatiiviseksi). Lasketaan tehty työ, kun liikutaan polun   läpi alkaen paikkavektorista x0 ja päättyen paikkavektoriin x1. Oletetaan, että   voidaan parametrisoida   parametrille  . Täten

     
   
   
   

eli integraali riippuu vain alku- ja loppupisteistä.

  • Yleisesti jos  , silloin  .
  • Vastaavasti jos  , silloin   jollekin  . Huomaa, että tämä ehto on paljon vahvempi, koska ei riitä, että jollekin    .

Konservatiivinen kenttä ja eksaktit differentiaalitMuokkaa

Koska osoitettiin juuri, että konservatiiviselle vektorikentälle  , täten jos F on eksakti, eli  , voidaan kirjoittaa  . Toisin sanoen vektorikenttä F on konservatiivinen, jos   on eksakti.

Konservatiivinen kenttä ja roottoriMuokkaa

Konservatiiviselle vektorikentälle F pätee  . Tämä on seurausta, koska konservatiivinen kenttä voidaan kirjoittaa skalaarikentän mukaan   (kts. yllä):

 

koska   ja  .

Tästä tuloksesta päästään takaisin yllä oleviin tuloksiin Stokesin lauseen avulla. Koska  , on   minkä tahansa polun   ympäri, joka rajaa pinnan S, jolle Stokesin lauseen mukaisesti  . Täten F on konservatiivinen. (Pinnan S yksityiskohdilla ei ole erityisemmin väliä, koska  .)

LähteetMuokkaa

  1. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 994 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.