Konservatiivinen kenttä

Konservatiivinen kenttä on vektorikenttä F, jolle pätee

$\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =0$

missä:

• $\Gamma$ on suljettu polku, jota pitkin integroidaan

Jos F(x) on voimakenttä, tarkoittaa yllä oleva tulos, että tehty työ on nolla. Toisin sanoen työ riippuu vain polun alku- ja loppupisteistä, ei itse polusta. Esimerkki konservatiivisesta voimakentästä on painovoima.

Konservatiivinen kenttä ja skalaarikentän gradientti

Konservatiiviselle vektorikentälle voidaan kirjoittaa $\mathbf {F} (\mathbf {x} )=-\nabla \phi$ jollekin skalaarikentälle $\phi$. Mikäli F(x) on voimakenttä, on $\phi$ potentiaalienergia (miinusmerkki on konventio; potentiaalienergia käsitetään sopimuksenmukaisesti negatiiviseksi). Lasketaan tehty työ, kun liikutaan polun $\Gamma$ läpi alkaen paikkavektorista x₀ ja päättyen paikkavektoriin x₁. Oletetaan, että $\Gamma$ voidaan parametrisoida $\mathbf {x} =\mathbf {x} \left(t\right)$ parametrille $t_{0}\leq t\leq t_{1}$. Täten

$\int _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x}$	$=\,\!$	$-\int _{\Gamma }\nabla \phi \cdot d\mathbf {x}$
	$=\,\!$	$-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\nabla \phi \cdot {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}dt=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial t}}\right)dt$
	$=\,\!$	$-\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}\phi \left(x(t),y(t),z(t)\right)dt=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}\phi \left(\mathbf {x} (t)\right)dt$
	$=\,\!$	$\phi \left(\mathbf {x} (t_{0})\right)-\phi \left(\mathbf {x} (t_{1})\right)=\phi \left(\mathbf {x} _{0}\right)-\phi \left(\mathbf {x} _{1}\right)$

eli integraali riippuu vain alku- ja loppupisteistä.

• Yleisesti jos $\mathbf {F} =-\nabla \phi$, silloin $\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =0\ \forall \ \Gamma$.

• Vastaavasti jos $\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =0\ \forall \ \Gamma$, silloin $\mathbf {F} =-\nabla \phi$ jollekin $\phi$. Huomaa, että tämä ehto on paljon vahvempi, koska ei riitä, että jollekin $\Gamma$ $\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =0$.

Konservatiivinen kenttä ja eksaktit differentiaalit

Koska osoitettiin juuri, että konservatiiviselle vektorikentälle $\mathbf {F} (\mathbf {x} )=-\nabla \phi$, täten jos F on eksakti, eli $\mathbf {F} =P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j}$, voidaan kirjoittaa $\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =P(x,y)dx+Q(x,y)dy=d\phi$. Toisin sanoen vektorikenttä F on konservatiivinen, jos $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ on eksakti.

Konservatiivinen kenttä ja roottori

Konservatiiviselle vektorikentälle F pätee $\nabla \times \mathbf {F} =0$. Tämä on seurausta, koska konservatiivinen kenttä voidaan kirjoittaa skalaarikentän mukaan $\mathbf {F} (\mathbf {x} )=-\nabla \phi$ (kts. yllä):

$\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\{\frac {\partial \phi }{\partial x}}&{\frac {\partial \phi }{\partial y}}&{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\end{vmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}-{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\\-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}-{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\end{bmatrix}}=\mathbf {0}$

koska ${\frac {\partial }{\partial a}}{\frac {\partial \phi }{\partial b}}={\frac {\partial \phi }{\partial a}}{\frac {\partial }{\partial b}}$ ja ${\frac {\partial }{\partial a}}{\frac {\partial \phi }{\partial b}}={\frac {\partial \phi }{\partial b}}{\frac {\partial }{\partial a}}$.

Tästä tuloksesta päästään takaisin yllä oleviin tuloksiin Stokesin lauseen avulla. Koska $\nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0}$, on $\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =0$ minkä tahansa polun $\Gamma$ ympäri, joka rajaa pinnan S, jolle Stokesin lauseen mukaisesti $\int _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {dS} =0=\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot \mathbf {dl}$. Täten F on konservatiivinen. (Pinnan S yksityiskohdilla ei ole erityisemmin väliä, koska $\nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0}$.)