Juurifunktio

Juurifunktio on muuttujan matemaattinen funktio, joka on potenssifunktion erikoistapaus. Se voidaan esittää yleistettynä

missä on potenssi ja yksikkömurtoluku sen eksponentti. Eksponentissa luku kutsutaan myös juuren asteeksi. Yleensä juurifunktiot rajoitetaan asteisiin n = 2, 3, 4, ..., vaikka myös aste n = 1 sopisi ominaisuuksiensa puolesta juurifunktioksi. Ylempi merkintä tarkoittaa samaa asiaa kuin Suomen koulumatematiikassa käytetty merkintä

Juurifunktion ominaisuuksiaMuokkaa

Juurifunktion määrittelyjoukkona voi joskus olla kaikki reaaliluvut, mutta yleensä vaaditaan ei-negatiivisuutta eli   laskettavuuden parantamiseksi. Jos juuren aste   on parillinen, on määrittelyjoukko rajoitettu  , mutta parittomalla asteella käyvät kaikki reaaliluvut. Tästä seuraa kuitenkin eräs yllättävä ongelma kompleksiluvuilla. Esimerkiksi negatiivisten lukujen kuutiojuuren arvon määrityksenä voisi käyttää potenssilaskennan päättelyä, jolla   On kuitenkin olemassa kolme kompleksilukua, joiden kolmas potenssi on    . Jos juurilausekkeen arvoksi kelpuutetaan myös kompleksiluvut, valitaan näistä oletusarvoisesti se, jonka napakulman itseisarvo on pienin ja jos kahden kompleksiluvun napakulmien itseisarvot ovat samat, valitaan näistä positiivinen vaihtoehto. Lukujen   napakulmat ovat   vastaavasti ja siksi lausekkeen   arvoksi valitaan  .[1]

 
Juurifunktiot, joilla on pariton aste.
 
Juurifunktiot, joilla on parillinen aste.

Parillisuus ja parittomuusMuokkaa

Juurifunktioille, joiden aste on parillinen luku, ei ole mielekästä määrittää parillisuutta ja parittomuutta, koska jo määrittelyjoukko käsittää vain positiiviset reaaliluvut. Sen sijaan parittomilla juurifunktioilla       määrittelyjoukkona on kaikki reaaliluvut. Parittomat juurifunktiot ovat parittomia funktioita.

MonotonisuusMuokkaa

Kaikki juurifunktiot ovat aidosti monotonisia ja vieläpä aidosti kasvavia funktioita.[2]

KäänteisfunktiotMuokkaa

Juurifunktioiden käänteisfunktiot ovat potenssifunktioita, joiden eksponentit ovat luonnollisia lukuja  . Neliöjuurifunktion   käänteisfunktio   on toisen asteen potenssifunktio eli kvadraattinen funktio  [3] Kuutiojuurifunktion   käänteisfunktio on  

Yleistäen voidaan todeta, että käänteisfunktiot ovat parillisilla asteilla  

 

ja parittomilla asteilla  

 

Derivointi ja integrointiMuokkaa

Yleinen potenssien derivaatta, kun   lasketaan

  [4]

Kun juurifunktion aste on  , tulee derivaataksi

  [4]

tai vaihtoehtoisesti

  [4]

Neliöjuuren derivaatta on siten

  [3]

ja kuutiojuuren derivaatta

  [4]

ja neljäsjuuren derivaatta

  [4]

n-asteisen juurifunktion yleinen integraalifunktio saadaan

  [4]

eli

  [4]

Silloin neliöjuuren integraali on

  [4]

ja kuutiojuuren integraali

  [4]

KompleksiluvutMuokkaa

Juurifunktioiden määrittelyjoukko voidaan laajentaa koskemaan kompleksilukuja  . De Moivre'n teoreemassa, jossa kompleksiluvun   reaalilukuinen potenssi   esitetään polaarisessa muodossa

  [5]

voidaan vaihtaa potenssi yksikkömurtoluvuksi  

 

kun   [5]

NeliöjuuriMuokkaa

Neliöjuurelle   saadaan kaksi arvoa, kun   ja  

Ensimmäinen juuri on arvoltaan  

ja toinen  

eli  

Esimerkki neliöjuurellaMuokkaa

Jos lasketaan kompleksiluvun   neliöjuuri, muutetaan se ensin polaarimuotoon. Modulus on   ja napakulma   eli   Siten   Neliöjuureksi saadaan sitten kaksi arvoa

 
 

KuutiojuuriMuokkaa

Kuutiojuuri antaa kolme arvoa, kun  

 

NeljäsjuuriMuokkaa

Neljäs antaa neljä arvoa, kun    

LähteetMuokkaa

  • Weisstein, Eric W.: Cube Root (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

ViitteetMuokkaa

  1. Kivelä, Simo K.: Lukiotason matematiikan tietosanakirja (html) (Juurifunktion määritelmän laajennus) 2001. Helsinki: Teknillinen korkeakoulu.
  2. Jyväskylän Yliopisto: Juurifunktio
  3. a b Weisstein, Eric W.: Square Root (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. a b c d e f g h i Weisstein, Eric W.: Power (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. a b Spiegel, Murray R.: Mathematical Handbook of Formulas and Tables. New York: McGraw-Hill Book Company, 1968. (englanniksi)

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa