Kertymäfunktio

Kertymäfunktio eli jakaumafunktio (engl. cumulative distribution function, cdf) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä reaaliarvoisen satunnaismuuttujan todennäköisyyden jakautumista kuvaava funktio. Kertymäfunktion $F(x)$ arvot ovat todennäköisyyksiä tapahtumissa, jossa satunnaismuuttuja $X$ saa reuna-arvon $x$ tai sitä pienempiä arvoja eli $\scriptstyle F(x)=P(X\leq x)$. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa kertymäfunktio määritellään tiheysfunktion määrätyn integraalin avulla ja diskreetillä satunnaismuuttujalla pistetodennäköisyyksien summana. Kertymäfunktio on aina oikealta jatkuva, vaikka tiheysfunktio tai pistetodennäköisyysfunktio olisi epäjatkuva.

Diagrammissa on jatkuvan satunnaismuuttujan kuvaaja, johon on väritetty näkyviin tapahtuman "todennäköisyysmassat". Väritetyn alueen määrätty integraalit eli kuvaajan pinta-alat ovat suhteessa tapahtuman todennäköisyyteen.

Määritelmä

Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään

$F(x)=P(X\leq x)=\sum _{k\leq x}p(k),$

missä $p(k)$ on pistetodennäköisyysfunktion arvo ylärajaa $x$ pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.

Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään määrättynä integraalina ylärajan $x$ suhteen

$F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)dt,$

missä $f(x)$ on satunnaismuuttujan tiheysfunktio. Tiheysfunktiota havainnollistetaan ajattelemalla sen arvoja "todennäköisyysmassan" korkeutena, missä suuri arvo merkitsee yleistä satunnaismuuttujan arvoa. Kertymäfunktion tapauksessa voidaan edelleen ajatella, että sen arvo tarkoittaisi "todennäköisyysmassan" kokonaismäärää $F(a)$ kohdassa $a$ ja sitä pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.

Jos tiheysfunktio on jatkuva, saadaan se myös derivoimalla kertymäfunktio muuttujan suhteen

$F'(x)=f(x).$

Merkintöjä

Jos halutaan korostaa kertymäfunktion satunnaismuuttujaa, merkitään satunnaismuuttuja usein alaindeksiksi $F_{X}(x)$ ja $F_{Y}(x).$ Toisinaan merkitään kertymäfunktio kreikkalaisella aakkosella $\Phi (x)$ (lue: "fii"), jos tiheysfunktio on ollut $\phi (x)$ (pieni kirjain).

Esimerkkejä

Ylin kuvaaja esittää diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktiota, keskimmäinen jatkuvan satunnaismuuttujan ja alin sellaisen satunnaismuuttujan, jolla on kumpaakin piirrettä.

Diskreetti satunnaismuuttuja

Diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktiolla saa 10 nollasta eroavaa arvoa

$P(X=x_{i})=p(x_{i})=f(x_{i}),$

kun $i=1,...,10,$ jotka ovat yhtä suuret eli $p(x_{i})={\tfrac {1}{10}}.$ Kertymäfunktio saadaan arvoa x pienempien kohtien todennäköisyyksien summasta eli

$F(x)=P(X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}p_{i}=p_{1}+p_{2}+...+p_{k}.$

Tämän porrasfunktion arvot ovat oikealta jatkuvia ja sen kuvaaja on esitetty alla.

Jatkuva satunnaismuuttuja

Tasaisen jakauman tiheysfunktio välillä [a,b] on

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&{\mbox{jos }}x\in [a,b]\\0,&{\mbox{jos }}x\notin [a,b]\end{cases}}$

ja sen kertymäfunktioksi saadaan

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)dt={\begin{cases}0,&{\mbox{jos }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}},&{\mbox{jos }}x\in [a,b]\\1,&{\mbox{jos }}x>b.\end{cases}}$

Sen kuvaaja on alla.

• 
  Diskreetti jakauma, jossa 10 yhtä todennäköistä arvoa
• 
  Binomijakauman kertymäfunktio
• 
  Beta-jakaumia eri parametreilla
• 
  Burrin jakaumia eri parametreillä
• 
  Cauchyn jakaumia eri parametreillä
• 
  Khi-jakaumia
• 
  χ²-jakaumia
• 
  Eksponenttijakaumia kolmella parametrillä
• 
  Frechet-jakaumia eri parametreillä
• 
  Gammajakaumia eri parametreillä
• 
  Maxwell-Boltzmannin jakaumia eri parametreillä
• 
  Normaalijakaumia kuudella parametriparilla
• 
  Pareto-jakamia eriparametreillä
• 
  Rayleigh-jakaumia eri parametreillä
• 
  Tasainen jakauma

Ominaisuuksia

Funktiona

Kertymäfunktio on kuvaus reaaliluvuilta välille $[0,1]$, eli

$F(x):\mathbb {R} \rightarrow [0,1].$

Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio on jatkuva funktio. Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on oikealta jatkuva porrasfunktio. Jatkuvuudesta seuraa ominaisuus

$P(X<a)=\lim _{x\to a}F(x)=\lim _{x\to a}P(X<x)=P(X\leq a)=F(a).$

Tämä ominaisuus voidaan kirjoittaa havainnollisemmin

$P(X\leq a)=P(X<a{\mbox{ tai }}X=a)=P(X<a)+P(X=a)=P(X<a).$

Jatkuvan satunnaismuuttujan pistetodennäköisyys eli arvo yksittäisessä pisteessä on siten nolla eli

$P(X=a)=0.$

Koska kertymäfunktion arvot ovat tapahtumien todennäköisyyksiä, saa se vain arvoja väliltä

$0\leq F(x)\leq 1.$

Kertymäfunktio on lisäksi monotoninen funktio, joka on ei-vähenevä eli

$F(x_{1})\leq F(x_{2})$ kun on $x_{1}<x_{2}$.

Tämän vuoksi kertymäfunktio kasvaa lopulta täyteen arvoonsa, kun ylärajaa kasvatetaan riittävästi

$\lim _{a\to +\infty }F(a)=\lim _{a\to +\infty }\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx=1.$

Kertymäfunktio alkaa nollasta jostakin arvosta a lähtien. Jos satunnaismuuttuja arvoalue on äärettömän laaja, voidaan tämä ilmaista

$\lim _{a\to -\infty }F(a)=\lim _{a\to -\infty }\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx=0.$

Todennäköisyyksinä

Edellä esitelty määritelmä on eräs tapa ilmaista tapahtuma, jossa todennäköisyys lasketaan käyttämällä satunnaismuuttujan ylärajana $x$ eli

$P(X\leq x)=F(x).$

Voidaan osoittaa, että sillä voidaan laskea kaikki sellaiset todennäköisyydet, jossa tapahtumat ovat välejä. Esimerkiksi, koska mielivaltaiselle satunnaismuuttujan arvolle $a$ pätee

$P(X<a)+P(a\leq X)=1,$

voidaan vastatapahtuman todennäköisyys laskea

$P(a\leq X)=1-P(X<a)=1-P(X\leq a)=1-F(a).$

Toisaalta, koska mielivaltaisille satunnaismuuttujan arvoille $a$ ja $b$ pätee

$P(X<a)+P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b),$

voidaan välin $[a,b]$ todennäköisyys laskea

$P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X<a)=P(X\leq b)-P(X\leq a)=F(b)-F(a).$

Jos kertymäfunktio olisi määritelty toisella tavalla, olisi siihenkin voitu johtaa kaikkien muidenkin välien todennäköisyydet.

• 
  $\scriptstyle P(X<x)+P(x\leq X)=1,$ kohdassa x
• 
  $\scriptstyle P(a\leq X)=1-F(a)$
• 
  $\scriptstyle P(x_{1}\leq X\leq x_{2})=$ $\scriptstyle F(x_{2})-F(x_{1})$