Homomorfialause

Homomorfialause eli homomorfismien peruslause on hyvin yleinen algebrallisten systeemien rakennelause. Se takaa, että homomorfismin kuva on isomorfinen :n ytimen sivuluokkien muodostaman rakenteen kanssa.

Homomorfialauseesta on olemassa oma versionsa mm. ryhmille, renkaille ja hiloille. Kuntien tapauksessa homomorfialause on triviaali, sillä jokainen kuntahomomorfismi on injektio ja indusoi siten isomorfismin.

Ryhmien homomorfialauseMuokkaa

Ryhmien tapauksessa homomorfialause kuuluu seuraavasti: Olkoot   ja   ryhmiä,   homomorfismi näiden välillä ja    :n ydin. Tällöin tekijäryhmä   on isomorfinen  :n kuvan kanssa. Tämä isomorfismi on kuvaus  ,  .

Lauseen todistuksessa tutkitaan ensin, että   on hyvinmääritelty ja osoitetaan se sitten isomorfismiksi toteamalla se homomorfismiksi, injektioksi ja surjektioksi. Osoitetaan nyt   hyvinmääritellyksi. Jos  :n ja  :n määräämät sivuluokat ovat samat, niin   eli  , missä   on ytimen alkio. Nyt  , eli   on hyvinmääritelty. Näytetään sitten, että   on isomorfismi.   on homomorfismi, sillä kun  :n ja  :n määräämät sivuluokat kuuluvat tekijäryhmään  , niin  . Homomorfismi ryhmien välillä on injektio silloin ja vain silloin, kun  . Jos  , niin   eli  . Silloin   ryhmän ykkösalkio eli   on injektio.   on surjektiivinen, sillä kun   käy läpi koko  :n niin   käy läpi koko  :n kuvan. Siis   on isomorfismi.

KirjallisuuttaMuokkaa

  • Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.