Heisenbergin kuva

Heisenbergin kuva on kvanttimekaniikan formalismin yksi muoto. Siinä systeemin tilaa kuvaavat tilavektorit eli aaltofunktiot ovat aikariippumattomia, ja observaabeleita kuvaavat lineaarioperaattorit riippuvat ajasta.

KäyttöMuokkaa

Merkitään suljetun systeemin tilaa merkinnällä   ja observaabelia   kuvaavaa operaattoria merkinnällä  . Alaindeksi H viittaa siis Heisenbergin kuvaan. Jälkimmäinen siis kuvaa tilan   joksikin toiseksi (tai erityisesti identiteettioperaattorin tapauksessa samaksi) saman funktioavaruuden tilaksi  . Toisin sanoen

 

Koska operaattori riippuu ajasta, myös se funktio johon kuvaus tapahtui riippuu ajanhetkestä  . Itse funktiot ovat kuitenkin määritelmän mukaan aikariippumattomia.

Merkitään tilan   konjugaattitilaa merkinnällä  . Tällöin systeemin ollessa puhtaassa tilassa   observaabelin   odotusarvo   saadaan sisätulosta

 

missä   on   ja   sisätulo.

Operaattori   toteuttaa Heisenbergin liikeyhtälön

 

missä   on Diracin vakio,   on systeemin Hamiltonin operaattori ja   on operaattorin   ja Hamiltonin operaattorin kommutaattori. Yhtälön viimeinen termi ottaa huomioon observaabelin määritelmän mahdollisen eksplisiittisen aikariippuvuuden.

Muunnos Schrödingerin kuvan ja Heisenbergin kuvan välilläMuokkaa

Heisenbergin kuva on yhtäpitävä Schrödingerin kuvan kanssa. Tämän voi todistaa seuraavasti. Schrödingerin kuvassa aaltofunktiot riippuvat ajasta Schrödingerin yhtälön mukaan. Tämä voidaan aina ratkaista formaalisti muotoon

 

Tässä alaindeksi S viittaa Schrödingerin kuvaan. Observaabelin   odotusarvolle pätee tällöin tilassa  

 

Nyt siis

 

Vastaava todistus voidaan tehdä sekoitetulle tilalle käyttäen tiheysmatriisia. Heisenbergin kuvassa tiheysmatriisi on siis aikariippumaton.

Katso myösMuokkaa