Hardyn epäyhtälö

Hardyn epäyhtälö kuuluu matematiikassa seuraavasti: Olkoon A={a₁,a₂,...} jono epänegatiivisia reaalilukuja ja f epänegatiivinen integroituva funktio. Merkitään

$A_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$

ja

$F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\operatorname {d} t$.

Tällöin kaikilla p > 1 on voimassa

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {A_{n}}{n}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n})^{p}$

jos (a_n) ei ole nolla kaikilla indekseillä n. Integroituvalle funktiolle F Hardyn epäyhtälö sanoo

$\int _{0}^{\infty }\left({\frac {F(x)}{x}}\right)^{p}$$\operatorname {d} x\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }(f(x))^{p}\operatorname {d} x$.

Yhtäsuuruus pätee jos ja vain jos f(x) = 0 melkein kaikkialla.

Lähteet

• Weisstein, Eric W. "Hardy's Inequality." MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/HardysInequality.html