Gnomoninen projektio

Gnomoninen projektio on karttaprojektio, jossa maapallon isoympyrät kuvautuvat suoriksi viivoiksi. Täten lyhin mahdollinen reitti maapallon kahden kohdan välillä näkyy kartassa suorana. Tämä saadaan aikaan proji­soimalla maapallo sitä sivuavalle tasolle siten, että maan­pinnan jokainen kohta kuvautuu siihen kohtaan tasolla, jossa maapallon keski­pisteen ja kyseisen pallo­pinnan pisteen kautta kulkeva suora leikkaa tason. Alueiden muodot vääristyvät vähiten sivuamis­pisteen läheisyydessä. Gnomonisen projektion mukaisessa kartassa ei voi näkyä koko maa­pallo, ainoastaan pienempi alue kuin puolet siitä, samaan tapaan kuin kameran linssi voi kerralla kuvata enintään 180 asteen sektorin näköpiiristä.

Gnomonisen projektion mukainen kartta, jossa sivuamispiste on pohjoisnavalla

Koska pituuspiirit ja päiväntasaaja ovat iso­ympyröitä, ne näkyvät aina suorina viivoina, sikäli kuin ylipäänsä näkyvät. Muut leveyspiirit sen sijaan eivät ole isoympyröitä, ja niiden muoto gnomonisen projektion mukaisessa kartassa riippuu sivuamispisteen sijainnista.

• Jos sivuamispiste on jommalla­kummalla navalla, pituus­piirit haarautuvat siitä tasa­välisesti säteittäin. Päivän­tasaaja ei näy kartassa, vaan se on äärettömän kaukana. Muut leveyspiirit näkyvät saman­keskisinä ympyröinä, mutta eivät tasavälein.
• Jos sivuamispiste on päivän­tasaajalla, pituus­piirit ovat yhden­suuntaisia mutta eivät tasa­välisiä. Päiväntasaaja on suora viiva ja kohti­suorassa pituus­piirejä vastaan. Muut leveys­piirit näkyvät hyperbelin muotoisina.
• Jos sivuamispiste ei ole navalla eikä päivän­tasaajalla, pituus­piirit ovat navan kautta kulkevia suoria, mutta niiden väliset kulmat eivät kuvaudu oikein. Päiväntasaaja on suora viiva, joka on kohtisuorassa vain yhtä pituus­piiriä vastaan, mikä osoittaa, että tämä projektio ei ole konformaalinen.

Gnomonisessa projektiossa isoympyrät kuvautuvat suoriksi viivoiksi

Gnomoninen projektio, sivuamispiste pohjoisnavalla

Gnomoninen projektio, sivuamispiste päiväntasaajalla

Gnomoninen projektio, sivuamispiste 40° pohjoista leveyttä

Kuten kaikissa taso­projektioissa, kulmat, joiden kärki on sivuamis­pisteessä, kuvautuvat oikean suuruisina. Piste, jonka todellinen etäisyys tästä pisteestä on d, näkyy kartassa tästä pisteestä etäisyydellä

$r(d)=kR\,\tan(d/R)$

missä R on Maan säde ja k kartan mittakaava sivuamispisteessä. Säteittäinen mittakaava etäisyydellä d on

$r'(d)=k{\frac {1}{\cos ^{2}(d/R)}}$

ja mittakaava sitä vastaan kohti­suorassa suunnassa

$k{\frac {1}{\cos(d/R)}}$

joten tämä kohtisuora mittakaava kasvaa kartan reunoja kohti ja säteittäinen mitta­kaava vielä nopeammin..

Gnomonisen projektion katsotaan olevan vanhin kartta­projektio, jonka kehitti Thales 500-luvulla eaa. Aurinkokellon varjon kärki piirtää päivän aikana saman­muotoisen hyperbelin, jollaisina leveys­piirit näkyvät gnomonisessa kartassa.

Gnomonista projektiota käytetään muun muassa seisomologiassa, koska maan­järistys­aallot yleensä etenevät isoympyröitä pitkin. Sitä käytetään myös laivastoissa suunnan­määrityksessä, sillä radio­signaalit kulkevat iso­ympyröitä pitkin. Myös meteorit kulkevat iso­ympyröitä pitkin, ja gnomoninen Atlas Brno 2000.0 on Kansain­välisen meteorij­ärjestön (IMO) suosittelema sarja tähti­karttoja meteorien havain­noin­tiin.

Tasoprojektioiden vertailua. Ylärivillä vasemmalta: orto­grafinen projektio, kolme eri etäisyyksiltä kuvattua perspektiivistä projektiota, gnomoninen projektio, stereografinen projektio sekä eri etäisyyksiltä vastakkaiselta puolelta kuvattua perspektiivistä projektiota. Alarivillä vasemmalla oikeakeskipituinen tasoprojektio.

Muunnelmia

Vuonna 1946 Buckminster Fuller patenteoi gnomonista projektiota muistuttavan kartta­projektion, jota hän käytti kubokta­edrisessa versiossaan Dymaxion-kartasta. Vuonna 1954 hän julkaisi ikosaedrisen version nimikkeellä AirOcean World Map, ja tämä on nykyisin useimmiten käytetty versio.

Gnomonista projektiota käytetään laajasti valo­kuvauksessa, jossa sitä sanotaan suoraviivaiseksi projektioksi.

Lähteet

• John P. Snyder: Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. Washington, D.C: United States Government Printing Office, 1987. Teoksen verkkoversio. (Arkistoitu – Internet Archive)

Aiheesta muualla

• http://www.bfi.org/node/25 (Arkistoitu – Internet Archive) Kuvaus Fullerin projektiokartasta. Description Buckminster Fuller Institute
• http://erg.usgs.gov/isb/pubs/MapProjections/projections.html#gnomonic (Arkistoitu – Internet Archive) Projektioiden kuvauksia. USGS
• http://exchange.manifold.net/manifold/manuals/6_userman/mfd50Gnomonic.htm (Arkistoitu – Internet Archive)
• http://mathworld.wolfram.com/GnomonicProjection.html
• http://members.shaw.ca/quadibloc/maps/maz0201.htm
• Kaikkien tavallisimpien karttaprojektiot, niiden kuvaukset ja oninaisuudet radicalcartography.net