Eulerin neljännen asteen yhtälö

Eulerin neljännen asteen yhtälö on sveitsiläisen matemaatikon Leonhard Eulerin vuonna 1772 esittämä lukuteoreettinen ongelma, joka voidaan esittää yhtälömuodossa $a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}\,$, jossa $a,b,c,d\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$. Ongelmana on siis löytää neljä nollasta poikkeavaa kokonaislukua, joiden neljänsien potenssien summa on yhtä suuri kuin lukujen summan neljäs potenssi. Ongelma ratkaistiin vuonna 2008, jolloin Arizonan yliopiston professori Daniel Madden sekä harrastelijamatemaatikko, fyysikko Lee W. Jacobi julkaisivat ratkaisun The American Mathematical Monthly -lehden maaliskuisessa numerossa. He todistivat elliptisten funktioiden avulla, että ongelmalla on äärettömän monta ratkaisua. Ennen tätä ongelmalle oli löydetty 88 eri ratkaisua.

Eulerin neljännen asteen yhtälö on osa Eulerin laajempaa hypoteesia, jonka mukaan korkeamman asteen yhtälöllä on oltava yhtä monta muuttujaa kuin sen astelukukin on, jotta yhtälöllä olisi ratkaisuja. Hypoteesin osoitti vääräksi vuonna 1987 Noam Elkies.