Eulerin φ-funktio on niiden positiivisten kokonaislukujen määrä, joille pätee syt(n, k) = 1 eli n ja k ovat suhteellisia alkulukuja.[1] Esimerkiksi , koska lukua 10 pienemmistä positiivisista kokonaisluvuista ainoastaan luvut 1,3,7 ja 9 ovat suhteellisia alkulukuja luvun 10 kanssa.

φ-funktion arvo voidaan laskea kaavasta

eli tuloon otetaan tekijöiksi kaikki alkuluvut jotka jakavat luvun .[2] Esimerkiksi

,

koska vain alkuluvut 2 ja 5 jakavat luvun 10.

OminaisuuksiaMuokkaa

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

missä ζ on Riemannin zeeta-funktio. Kaavasta seuraa approximaatio  

  •  
  •  
  •  
  •  

(missä γ on Eulerin vakio).

  •  

missä m > 1 on positiivinen kokonaisluku ja ω(m) on m:n eri alkulukujakajien määrä.

Epäyhtälöitä φ-funktiolleMuokkaa

φ-funktiolle on voimassa

 , kaikille n>6.

  kun n > 2, missä   on Eulerin vakio.

  kun n > 0,

Kaikille  :

 

Suurillekaan luvuille n yllä olevaa epäyhtälöä ei voi parantaa. Tarkemmin sanoen:

 

Menonin identiteettiMuokkaa

 

LähteetMuokkaa

  • Rosen, Kenneth H.: Elementary Number Theory and Its Applications. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1984. ISBN 0-201-06561-4. (englanniksi)

ViitteetMuokkaa

  1. Rosen, s. 161
  2. Rosen, s. 169
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.