Avaa päävalikko

Elliptiset integraalit on ovat joukko erikoisfunktioita, jotka tulivat alun perin vastaan laskettaessa ellipsiviivan pituutta. Yleinen elliptinen integraali on muotoa

,

missä on rationaalifunktio ja polynomi, joka on muuttujan suhteen kolmatta tai neljättä astetta, ja jonka kaikki juuret ovat erisuuria. Integraalin alaraja on vakio, tavallisesti nolla. Integraalin yläraja voi olla myös kiinnitetty, jolloin elliptisen integraalin sanotaan olevan täydellinen. Elliptisiä integraaleja ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla, mutta niiden arvoja on taulukoitu.

Elliptiset integraalit voidaan kirjoittaa useammalla yhtäpitävällä tavalla. Tässä käytetyistä muodoista ensimmäinen on tavallisin tapa, ns. Legendren muoto. Sitä seuraa yllä olevaa yleistä määritelmää vastaava polynomimuoto. Elliptisten integraalien käänteisfunktioita ovat trigonometrisiä funktioita muistuttavat Jacobin elliptiset funktiot.

Ensimmäisen lajin elliptinen integraaliMuokkaa

 
Kuvaajat kahdesta tapauksesta:  
ja
 .

Epätäydellinen ensimmäisen lajin elliptinen integraali on muotoa

 

Tässä esiintyvän muuttujan   sanotaan olevan elliptisen integraalin amplitudi ja merkitään

 .

Vakiokerroin   on puolestaan elliptinen moduuli ja se saa arvoja avoimelta väliltä  . Täydellinen ensimmäisen lajin elliptinen integraali on

 

Toisen lajin elliptinen integraaliMuokkaa

Epätäydellinen toisen lajin elliptinen integraali on

 

ja vastaavasti täydellinen muoto on

 

Toisen lajin integraali saadaan tuloksena, jos ellipsin reunaviivan pituutta yritetään laskea.

Kolmannen lajin elliptinen integraaliMuokkaa

Epätäydellinen kolmannen lajin elliptinen integraali on

 

ja täydellinen

 

Tässä integraalissa esiintyvä vakio   on elliptinen karakteristika.

Legendren relaatioMuokkaa

Täydellisiä ensimmäisen ja toisen lajin elliptisiä integraaleja   ja   yhdistää nk. Legendren relaatio

 .

Aiheesta muuallaMuokkaa