Dirichlet’n konvoluutio

Dirichlet'n konvoluutio eli Dirichlet'n tulo on lukuteoreettisille funktioille määritelty matemaattinen operaatio. Operaatio muistuttaa lukujen kertolaskua, mutta lukujen sijaan operoidaan funktioilla. Laskemalla kahden lukuteoreettisen funktion konvoluutio saadaan tulokseksi kolmas lukuteoreettinen funktio. Dirichlet'n konvoluutio on siis samantyyppinen operaatio kuin muutkin konvoluutiot.

Matemaattinen määritelmä muokkaa

Olkoon   ja   kaksi lukuteoreettista funktiota, jotka on siis määritelty vain positiivisille kokonaisluvuille. Olkoon   mielivaltainen positiivinen kokonaisluku. Dirichlet'n konvoluutio   määritellään seuraavasti:

 

Tässä   merkitsee, että   on jaollinen  :llä. Dirichlet'n konvoluutiossa siis lasketaan yhteen kaikki sellaiset termit, joissa kerrotaan keskenään   ja   sellaisilla arvoilla, joiden tulo on  .

Ominaisuuksia muokkaa

Dirichlet'n konvoluutiolla on seuraavat ominaisuudet:

  • lukuteoreettisella funktiolla   on käänteisalkio   Dirichlet'n konvoluution suhteen silloin ja vain silloin, kun  .

Esimerkkejä muokkaa

  • Esimerkki 1. Määritellään lukuteoreettinen funktio   seuraavasti:
 
Nyt funktion   ja minkä tahansa lukuteoreettisen funktion   konvoluutioksi saadaan funktio  
 
  • Esimerkki 2. Määritellään lukuteoreettiset funktiot   ja   seuraavasti:
 
 
Lasketaan näiden konvoluution arvo, kun  :
 
Konvoluution arvo voidaan laskea myös toisella tavalla:
 

Lähteet muokkaa

  • Matti Jutila & Iiro Honkala: Lukuteoria Syksy 2007. Turun yliopisto. Viitattu 18. syyskuuta 2007.