Cayleyn lause

Cayleyn lause on ryhmäteorian perustulos. [1] Se sanoo, että jokainen ryhmä G on isomorfinen erään symmetrisen ryhmän SG aliryhmän kanssa. Erityisesti jos G on kertalukua n oleva äärellinen ryhmä, niin se on isomorfinen erään symmetrisen ryhmän Sn aliryhmän kanssa. Cayleyn lause on eräs sovellus ryhmän G toiminnasta itselleen. Lause on nimetty matemaatikko Arthur Cayleyn mukaan.

Cayleyn lause on merkittävä, koska sen perusteella konstruktioiltaan hyvinkin erilaiset ryhmät ovat pohjimmiltaan vain permutaatioiden muodostamia ryhmiä. Ennen Cayleytä matemaatikot eivät käyttäneet ryhmän modernia määritelmää, vaan varhainen ryhmäteoria oli yksinomaan permutaatioiden ominaisuuksien tutkimista. Cayley määritteli ryhmän ensimmäisenä modernilla tavalla binäärisen operaation avulla ja osoitti, että tämä määritelmä johtaa pohjimmiltaan saman rakenteen tutkimiseen kuin permutaatioryhmien tapauksessa. Tämän lähestymistavan etu on, että se abstraktimpana soveltuu useampiin tilanteisiin.

Lisäksi Cayleyn lause osoittaa, että isomorfismin suhteen on olemassa vain äärellinen määrä tiettyä kertalukua olevia ryhmiä. Täten on olemassa vain äärellinen määrä kertalukua n olevia rakenteeltaan "merkittävästi" eroavia ryhmiä.

TodistusMuokkaa

Todistuksen ideana on muodostaa jokaista ryhmän alkiota kohti sellainen yksikäsitteinen joukon G permutaatio, että ryhmän rakenne säilyy siirryttäessä tarkastelemaan näiden permutaatioiden muodostamaa ryhmää. Olkoon g ryhmän   mielivaltainen alkio. Asetetaan funktio

 

Koska

  ja  

kaikilla  , niin kuvaus   on bijektio ja siten joukon   permutaatio. Siis   ja lisäksi nämä kuvaukset muodostavat ryhmän   toiminnan itselleen. Mikäli ryhmä   on äärellinen ja sen alkiot ovat  , niin syklimuodossa permutaation esitys on

 

Asetetaan funktio

 

Kyseessä on homomorfismi, sillä

 

kaikilla  . Lisäksi  , joten homomorfismien peruslauseen nojalla

 

mikä todistaakin lauseen väitteen.

Vaihtoehtoisesti voidaan todeta, että joukko

 

on ryhmän   aliryhmä ja  . Koska   jos ja vain jos   kaikilla  , niin kuvaus   on injektio. Tällöin sen rajoittuma joukkoon   on bijektio, ja lause on täten todistettu.

LähteetMuokkaa

  1. Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 53. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.