Cahenin vakio

Matematiikassa Cahenin vakio on määritelty yksikkömurtolukujen muodostaman alternoivana sarjan, ja se on saatu Sylvesterin jonosta. Cahenin vakio on

$C=\sum {\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots \approx 0{,}64341054629.$

Cahenin vakio on nimetty Eugène Cahenin mukaan, joka tutki sarjaa.

Cahenin vakio on transkendenttinen. (Davison ja Shallit 1991). Se on yksi harvoista transkendenttiluvuista, joiden ketjumurtolukuesitys tunnetaan täysin: Jos muodostetaan sarja

1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... A006279 OEIS-tietokannassa,

jossa termit muodostavat rekursion

$q_{n+2}=q_{n}^{2}q_{n+1}+q_{n}$,

niin Cahenin vakion ketjumurtolukuesitys on

$[0,1,q_{0}^{2},q_{1}^{2},q_{2}^{2},\ldots ]$

(Davison ja Shallit 1991).

Lähteet

• Davison, J. Les; Shallit, Jeffrey O. (1991). "Continued fractions for some alternating series". Monatshefte für Mathematik 111: 119–126. doi:10.1007/BF01332350