Äärellinen topologinen avaruus

Äärellinen topologinen avaruus on äärelliseen joukkoon määritelty topologia. Topologiaa on kehitetty lähinnä äärettömiin joukkoihin, mutta äärelliset topologiat voivat olla esimerkiksi yksinkertaisia havainnollistuksia joissakin tilanteissa.

Äärellisen joukon topologia voidaan määritellä yleistä topologiaa yksinkertaisemmin. Joukon X potenssijoukon P(X) osajoukko τ on topologia, jos

  1. ∅ ∈ τ ja X ∈ τ
  2. jos U ∈ τ ja V ∈ τ, niin U ∪ V ∈ τ
  3. jos U ∈ τ ja V ∈ τ, niin U ∩ V ∈ τ

Äärellisen joukon kaikki topologiat muodostavat hilan.

Esimerkkejä muokkaa

Tyhjä ja yhden pisteen joukko muokkaa

Tyhjällä joukolla ∅ on vain yksi topologia, jonka ainoa avoin joukko on tyhjä joukko.

Myös yhden pisteen joukolla on vain yksi topologia. Siinä avoimet joukot ovat tyhjä joukko ja ainoan alkion sisältävä joukko.

Kaksi pistettä muokkaa

Joukolla {a,b} on neljä topologiaa.

  1. {∅, {a,b}} (minimitopologia)
  2. {∅, {a}, {a,b}}
  3. {∅, {b}, {a,b}}
  4. {∅, {a}, {b}, {a,b}} (diskreetti topologia)

Aidosti erilaisia topologioita on kolme, koska edellä olevista toinen ja kolmas ovat selvästi keskenään homeomorfisia. Näiden kanssa homeomorfinen topologia on nimeltään Sierpińskin avaruus.

Kolme pistettä muokkaa

Kolmen pisteen joukossa {a,b,c} on 29 erilaista topologiaa, mutta vain 9 näistä on keskenään ei-homeomorfista.

  1. {∅, {a,b,c}} (minimitopologia)
  2. {∅, {c}, {a,b,c}}
  3. {∅, {a,b}, {a,b,c}}
  4. {∅, {c}, {a,b}, {a,b,c}}
  5. {∅, {c}, {b,c}, {a,b,c}}
  6. {∅, {c}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}
  7. {∅, {a}, {b}, {a,b}, {a,b,c}}
  8. {∅, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,b,c}}
  9. {∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} (diskreetti topologia)

Viimeiset viisi näistä ovat  -avaruuksia. Minimitopologiassa 1 ja topologioissa 2, 3 ja 4 pisteet a ja b eivät ole topologisesti erottuvia.

Topologisia ominaisuuksia muokkaa

Äärellinen topologinen avaruus on selvästi kompakti, koska jokainen avoin peite on äärellinen. Samoin jokainen äärellinen topologinen avaruus on  .

Erotteluaksioomat muokkaa

Äärellinen topologinen avaruus on   vain, jos se on diskreetti. Jokaisen pisteen komplementti on äärellinen unioni suljetuista pisteistä ja siis suljettu, joten jokaisen pisteen on oltava avoin.

Näin ollen mikään diskreettiä avaruutta karkeampi topologinen avaruus ei voi olla  ,   eli Hausdorff tai toteuttaa mitään ylempää erotteluaksioomaa.

Äärellisten topologioiden lukumäärä muokkaa

Yksinkertaista kaavaa erilaisten topologioiden lukumäärälle ei tunneta. Alla oleva taulukko on kopio OEIS-sarjoista.

Topologioiden lukumäärä n pisteen joukossa
n Eri
topologioita
Eri
T0-topologioita
Ei-homeomorfisia
topologioita
Ei-homeomorfisia
T0-topologioita
0 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 4 3 3 2
3 29 19 9 5
4 355 219 33 16
5 6942 4231 139 63
6 209527 130023 718 318
7 9535241 6129859 4535 2045
8 642779354 431723379 35979 16999
9 63260289423 44511042511 363083 183231
10 8977053873043 6611065248783 4717687 2567284
OEIS A000798 A001035 A001930 A000112

Kirjallisuutta muokkaa