Youngin epäyhtälö

Matematiikassa Youngin epäyhtälön mukaan positiivisille reaaliluvuille a, b, p ja q, joille 1/p + 1/q = 1, on voimassa

$ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.$

Yhtäsuuruus on voimassa kun $a^{p}=b^{q}$.

Youngin epäyhtälö on erikoistapaus painotetusta aritmeettis-geometrisesta epäyhtälöstä.

Käyttö

Youngin epäyhtälöä käytetään todistamaan Hölderin epäyhtälö.

Todistus

Tiedetään, että $f(x)=e^{x}$ on konveksi, sillä sen toinen derivaatta on kaikkialla positiivinen. Siten

$ab=e^{\ln(a)}e^{\ln(b)}=e^{{1 \over p}\ln(a^{p})+{1 \over q}\ln(b^{q})}\leq {1 \over p}e^{\ln(a^{p})}+{1 \over q}e^{\ln(b^{q})}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q}$.

Tässä on käytetty konveksin funktion määritelmää:

$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$ kaikilla 0≤t≤1.

Aiheesta muualla

http://math.stackexchange.com/questions/259826/purely-algebraic-proof-of-youngs-inequality Erilaisia todistuksia Youngin epäyhtälölle (englanniksi)