Vuorotteleva sarja tarkoittaa matematiikassa sellaista sarjaa , jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia. Täsmällisemmin määriteltynä vuorotteleva sarja on muotoa
S
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
a
k
=
a
1
−
a
2
+
a
3
−
a
4
+
…
{\displaystyle S=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}\,a_{k}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\ldots }
oleva sarja, missä
a
k
>
0
{\displaystyle \,a_{k}>0\,\,}
k
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle \,k=1,2,\ldots }
Vuorotteleva sarja suppenee, jos sen osasummien
S
n
=
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
a
k
=
a
1
−
a
2
+
…
+
a
n
{\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}a_{k}=a_{1}-a_{2}+\ldots +a_{n}}
muodostama jono
(
S
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (S_{n})_{n=0}^{\infty }}
Leibnizin kriteerio
muokkaa
Leibnizin kriteerio , toiselta nimeltään Leibnizin testi vuorotteleville sarjoille , antaa riittävän ehdon vuorottelevan sarjan suppenemiselle. Sen ehdot ovat yksinkertaiset eikä niiden tarkasteleminen vaadi osasummien laskemista.
Lause: Sarja
S
=
u
1
−
u
2
+
u
3
−
…
+
u
2
n
−
1
−
u
2
n
+
…
,
{\displaystyle S=u_{1}-u_{2}+u_{3}-\ldots +u_{2n-1}-u_{2n}+\ldots ,}
jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia, on varmasti suppeneva jos termien itseisarvot lakkaamatta pienenevät ja niiden raja-arvona on 0, siis
u
0
>
u
1
>
u
2
>
…
>
u
n
>
…
>
0
,
ja
lim
k
→
∞
a
k
=
0.
{\displaystyle u_{0}>u_{1}>u_{2}>\ldots >u_{n}>\ldots >0,\;{\text{ja }}\;\lim _{k\to \infty }a_{k}=0.}
Todistus: Oletetaan, että positiiviterminen jono
(
u
k
)
{\displaystyle (u_{k})}
S
{\displaystyle S}
S
=
(
u
1
−
u
2
)
+
(
u
3
−
u
4
)
+
…
+
(
u
2
k
−
1
−
u
2
k
…
)
,
{\displaystyle S=(u_{1}-u_{2})+(u_{3}-u_{4})+\ldots +(u_{2k-1}-u_{2k}\ldots ),}
niin kaikki suluissa olevat summat ovat positiivisia ja saamme osasummille epäyhtälöketjun
S
2
<
S
4
<
S
6
…
<
S
2
n
<
…
.
{\displaystyle S_{2}<S_{4}<S_{6}\ldots <S_{2n}<\ldots .}
Jos taasen yhdistämme sarjan termit toisella tavalla, saamme
S
=
u
1
−
(
u
2
−
u
3
)
−
(
u
4
−
u
5
)
−
…
.
{\displaystyle S=u_{1}-(u_{2}-u_{3})-(u_{4}-u_{5})-\ldots .}
Jälleen suluissa olevat summat ovat positiivisia ja päädymme tulokseen
S
1
>
S
3
>
S
5
>
…
>
S
2
n
−
1
>
…
.
{\displaystyle S_{1}>S_{3}>S_{5}>\ldots >S_{2n-1}>\ldots .}
Yhtälöstä
S
2
n
−
S
2
n
−
1
=
−
u
2
n
{\displaystyle S_{2n}-S_{2n-1}=-u_{2n}}
seuraa edelleen, että
S
2
n
−
1
>
S
2
n
,
{\displaystyle S_{2n-1}>S_{2n},}
oli summausindeksi
n
{\displaystyle n}
lim
n
→
∞
u
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=0}
lim
n
→
∞
S
2
n
−
S
2
n
−
1
=
0.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n}-S_{2n-1}=0.}
Näin ollen meillä on kasvava lukujono ja vähenevä lukujono, joista toinen on aina toista suurempi ja joiden yleisten termien raja-arvon erotus lähenee lukua 0, joten lukujonot suppenevat kohti yhteistä raja-arvoa
S
{\displaystyle S}
[1]
S
n
{\displaystyle S_{n}}
lim
n
→
∞
S
n
=
S
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=S.}
Sarjan summan arvioiminen
muokkaa
Vuorottelevan sarjan summaa
S
{\displaystyle S}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
S
−
S
n
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
u
k
−
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
u
k
=
∑
k
=
n
+
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
u
k
=
u
n
+
1
−
(
u
n
+
2
−
u
n
+
3
)
−
(
u
n
+
4
−
u
n
+
5
)
−
…
≤
u
n
+
1
{\displaystyle S-S_{n}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}u_{k}-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}u_{k}=\sum _{k=n+1}^{\infty }(-1)^{k-1}u_{k}=u_{n+1}-(u_{n+2}-u_{n+3})-(u_{n+4}-u_{n+5})-\ldots \leq u_{n+1}}
ja näin saadaan virhetermille arvio
|
R
n
|
=
|
S
−
S
n
|
=
|
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
u
k
−
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
u
k
|
≤
|
u
n
+
1
|
{\displaystyle |R_{n}|=|S-S_{n}|=|\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}u_{k}-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}u_{k}|\leq |u_{n+1}|}
Itseisesti suppeneva sarja
muokkaa
Sarja
∑
u
k
{\displaystyle \sum u_{k}}
itseisesti suppeneva , jos sarja
∑
|
u
k
|
{\displaystyle \sum |u_{k}|}
Lause: Itseisesti suppeneva sarja suppenee myös tavallisessa mielessä.
Todistus:
Oletetaan, että sarja
∑
u
k
{\displaystyle \sum u_{k}}
∑
|
u
k
|
{\displaystyle \sum |u_{k}|}
∑
2
|
u
k
|
{\displaystyle \sum 2|u_{k}|}
Koska epäyhtälöt
0
≤
u
k
+
|
u
k
|
≤
2
|
u
k
|
{\displaystyle 0\leq u_{k}+|u_{k}|\leq 2|u_{k}|}
ovat aina voimassa, niin majoranttiperiaatteen mukaan myös sarja
∑
u
k
+
|
u
k
|
{\displaystyle \sum u_{k}+|u_{k}|}
Näin ollen
∑
a
k
{\displaystyle \sum a_{k}}
∑
a
k
=
∑
(
a
k
+
|
a
k
|
)
−
∑
|
a
k
|
.
{\displaystyle \sum a_{k}=\sum (a_{k}+|a_{k}|)-\sum |a_{k}|.}
Itseisesti suppenevan sarjan termit voidaan järjestään uudelleen, jolloin sarja pysyy suppenevana ja summa muuttumattomana.[2]
Ehdollinen suppeneminen
muokkaa
Sarja suppenee ehdollisesti , jos se suppenee, mutta ei suppene itseisesti. Esimerkiksi sarja
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}}
suppenee Leibnizin kriteerion perusteella, mutta ei suppene itseisesti, sillä harmoninen sarja
∑
k
=
1
∞
1
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}}
Ehdollisesti suppenevan sarjan termien järjestystä ei voi muuttaa, minkä näkee seuraavasta esimerkistä.
ln
(
2
)
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
k
=
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
…
.
{\displaystyle \ln(2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots .}
Järjestetään termit uudelleen seuraavasti:
(
1
−
1
2
)
−
1
4
+
(
1
3
−
1
6
)
−
1
8
+
(
1
5
−
1
10
)
−
1
12
+
⋯
=
1
2
−
1
4
+
1
6
−
1
8
+
1
10
−
1
12
+
⋯
=
1
2
(
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
−
1
6
+
⋯
)
=
1
2
ln
(
2
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2),\end{aligned}}}
jolloin päädyttäisiin tulokseen
ln
(
2
)
=
1
2
ln
(
2
)
,
{\displaystyle \ln(2)={\frac {1}{2}}\ln(2),}
mikä luonnollisestikaan ei pidä paikkaansa.
↑ Lindelöf, Ernst (1967). Johdatus korkeampaan analyysiin . Porvoo: Werner Söderström osakeyhtiö, 200. ↑ Myrberg, Lauri (1975). Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 2 . Tampere: Tampereen Kirjapaino-Oy Tamprint, 46. ISBN 951-26-0994-0 .
Kirjallisuutta
muokkaa
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f8b0d87859c4e37b106c07e7dcd1f87ea6f0ab)
