Tasainen jatkuvuus

matemaattisen analyysin käsite

Tasainen jatkuvuus on matemaattisen analyysin käsite. Karkeasti ilmaistuna tasainen jatkuvuus tarkoittaa sitä, että pientä muutosta x:ssä vastaa pieni muutos funktion arvossa f(x), ja tämän muutoksen suuruus riippuu vain x:n muutoksen suuruudesta, mutta ei itse pisteestä x.

Funktion jatkuvuus on paikallinen ominaisuus: funktio f on jatkuva (tai epäjatkuva) tietyssä pisteessä. Jos funktion sanotaan olevan jatkuva jollakin välillä, sen tarkoitetaan olevan jatkuva jokaisessa välin pisteessä. Sitä vastoin tasainen jatkuvuus on funktion globaali ominaisuus: se on määritelty joukossa, ei pisteessä. Funktio voi olla jatkuva jokaisessa välin pisteessä olematta kuitenkaan tasaisesti jatkuva tällä välillä. [1]

Määritelmä muokkaa

Olkoon D R:n osajoukko,  .

Kuvaus   on tasaisesti jatkuva jos ja vain jos

 .

Tärkeää on, että toisin kuin tavallisen jatkuvuuden määrittelyssä δ riippuu ainoastaan ε:sta.

Yleistys metrisiin avaruuksiin muokkaa

Määritelmä yleistyy metrisiin avaruuksiin seuraavasti:

Olkoot (X, dx) ja (Y, dy) metrisiä avaruuksia. Kuvaus   on tasaisesti jatkuva, jos kaikille reaaliluvuille ε > 0 on olemassa luku δ > 0 siten, että kaikkien joukon X pisteiden x1 ja x2, joiden välinen etäisyys on pienempi kuin δ, kuvapisteiden etäisyys toisistaan on pienempi kuin ε, toisin sanoen

 

Ominaisuuksia muokkaa

Jokainen tasaisesti jatkuva funktio on jatkuva, mutta käänteisesti väite ei päde. Esimerkiksi funktio f(x) = 1/x, jonka lähtöjoukko on positiivisten reaalilukujen joukko, on jatkuva mutta ei tasaisesti jatkuva, sillä kun x lähestyy nollaa, muutokset arvossa f(x) kasvavat rajatta.

Todistus muokkaa

Olkoon  . Tällöin  , kun   ja    , kun  . Täten valittiinpa   miten pieneksi tahansa, niin silti löydetään luvut   ja  , joilla   ja joilla   saadaan mielivaltaisen suureksi. Siispä   ei ole tasaisesti jatkuva.  

Kuitenkin jos funktio on jatkuva jokaisessa kompaktin välin pisteessä, se on tasaisesti jatkuva tällä välillä.

Lähteet muokkaa

  1. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 387–388 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.