Tähtimäinen alue

Matematiikassa euklidisen avaruuden $\mathbb {R} ^{n}$ joukko S on tähtimäinen alue, jos on olemassa sellainen joukon S piste x_0, että jokainen S:n piste voidaan yhdistää pisteeseen x₀ janalla, joka on kokonaan S:ssä^[1]. Määritelmä voidaan yleistää mielivaltaiselle reaaliselle tai kompleksiselle vektoriavaruudelle.

Esimerkkejä muokkaa

Mielivaltainen $\mathbb {R} ^{n}$ :n suora tai taso on tähtimäinen alue.
Suora tai taso ei ole tähtimäinen alue, jos siitä on poistettu yksittäinen piste.
Jos A on $\mathbb {R} ^{n}$ :n joukko, niin joukko $B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}$ , joka saadaan yhdistämällä kaikki A:n pisteet origoon, on tähtimäinen alue.
Mikä tahansa epätyhjä kupera joukko on tähtimäinen alue. Joukko on kupera jos ja vain jos se on tähtimäinen alue jokaisen joukon pisteen suhteen.
Ristin muotoinen kuvio on tähtimäinen muttei kupera alue.
Tähden muotoinen monikulmio on tähtimäinen alue, jonka reuna on yhtenäisten janojen ketju.

Tähtimäisen alueen sulkeuma on tähtimäinen alue, mutta tähtimäisen alueen sisus ei välttämättä ole tähtimäinen alue.
Jokainen tähtimäinen alue on kutistuva joukko suoraviivaisen homotopian kautta. Erityisesti jokainen tähtimäinen alue on yksinkertaisesti yhtenäinen joukko .
Jokainen tähtimäinen alue ja ainoastaan tähtimäinen alue voidaan ”kutistaa itseensä”. Toisin sanoen jokaiselle kutistumissuhteelle r <1 tähtimäinen alue voidaan kutistaa suhteella r siten, että kutistettu tähtimäinen alue sisältyy alkuperäiseen tähtimäiseen alueeseen. ^[2]
Kahden tähtimäisen alueen yhdiste ja leikkaus eivät välttämättä ole tähtimäisiä alueita.
Epätyhjä ja avoin $\mathbb {R} ^{n}$ :n tähtimäinen alue S on diffeomorfinen $\mathbb {R} ^{n}$ :lle.

Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis. Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-28763-4.
C.R. Smith: A characterization of star-shaped sets, American Mathematical Monthly, 75. vsk, s. 386.

↑ Janne Kauhanen: Vektorianalyysi, s. 55. TTY, matematiikan laitos, 2014-2015.
↑ Drummond-Cole: What polygons can be shrinked into themselves? Math Overflow. Viitattu 2. lokakuuta 2014.