Suppeneva sarja
Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Jos tällainen summa löytyy, sarja suppenee. Jos sarja ei suppene, on se hajaantuva sarja. Suppenemisen voi osoittaa määritelmän avulla tai suppenemistesteillä.
Määritelmä muokkaa
Sarja suppenee, jos sen osasummien jono suppenee, ts. jos s.e. . Tällöin S on sarjan summa ja merkitään
Sarjan suppenemiseen liittyviä lauseita muokkaa
Lause 1. muokkaa
Jos suppenee, niin
Lause 2. muokkaa
Suppenevalle sarjalle erotusta
sanotaan sarjan n:nneksi jäännöstermiksi.
Lause 3. muokkaa
Suppenevalle sarjalle
Lause 4. muokkaa
Jos ja , sekä , niin
Lause 5. muokkaa
Jos sarja suppenee ja sarja hajaantuu, niin summasarja hajaantuu. Jos molemmat sarjat ja hajaantuvat, niin niiden summasarja voi joko a)supeta tai b)hajaantua.
Lause 6. Cauchyn yleinen suppenemiskriterio sarjoille muokkaa
Sarja suppenee kohti s.e.
kaikilla aina kun
Itseisesti suppeneva sarja muokkaa
Määritelmä muokkaa
sarja suppenee itseisesti, jos sarja suppenee.
Lause 7. muokkaa
Jos suppenee, niin suppenee. Tällöin sarjoille pätee
Lähteet muokkaa
Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten osa 2, 1.-2. painos, Tampereen Kirjapaino-Oy Tamprint, 1978
Jouni Kankaanpää, Lauri Myrbeg, Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.2