Simpsonin sääntö

Simpsonin sääntö on numeerinen menetelmä, jolla voidaan approksimoida määrättyä integraalia, kun integroitavan funktion integraalifunktiota ei tunneta tai haluta käyttää. Jos väli [a,b] jaetaan kahteen yhtä pitkään osaväliin, niin tällöin pätee likimääräisesti:

Simpsonin sääntö voidaan johtaa approksimoimalla integroitavaa funktiota f (x) (sinisellä) toisen asteen polynomilla P (x) (punaisella), missä funktiot f ja g yhtyvät välin [a,b] pisteissä x=a, x=b ja x=m=(a+b)/2

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]$.

Usein merkitään osavälien pituutta kirjaimella h = (b-a)/2, jolloin yllä oleva kaava voidaan kirjoittaa muodossa:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]$.

Simpsonin sääntö on nimetty englantilaisen matemaatikon Thomas Simpsonin (1710–1761) mukaan.

Johtaminen

Simpsonin sääntö voidaan johtaa useammalla eri tavalla, joilla kaikilla saadaan luonnollisesti sama tulos. Tässä artikkelissa paneudutaan kuitenkin vain yhteen tapaan. Muista tavoista kiinnostunut lukija voi katsoa lisätietoa viitteistä.

Interpolointi toisen asteen polynomifunktiolla

Lähtökohtana on korvata funktio f toisen asteen polynomifunktiolla g(x)=px²+qx+r, joka saa samat arvot kuin funktio f välin [a,b] päätepisteissä ja keskipisteessä. Lasketaan nämä arvot, sillä niitä tarvitaan lopuksi:

$f(a)=g(a)=pa^{2}+qa+r,f({\frac {a+b}{2}})=g({\frac {a+b}{2}})=p({\frac {a+b}{2}})^{2}+q{\frac {a+b}{2}}+r,f(b)=g(b)=pb^{2}+qb+r$

Tällöin integraali voidaan kirjoittaa polynomin g avulla muodossa:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}g(x)\,dx=\int _{a}^{b}(px^{2}+qx+r)\,dx=({\frac {1}{3}}px^{3}+{\frac {1}{2}}qx^{2}+rx)|_{a}^{b}={\frac {1}{3}}p(b^{3}-a^{3})+{\frac {1}{2}}q(b^{2}-a^{2})+r(b-a)$

Hyödyntämällä kaavoja

$a^{3}-b^{3}=\left(a-b\right)(a^{2}+ab+b^{2})$

$a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)(a+b)$

saadaan edelleen

$={\frac {1}{3}}p(b-a)(a^{2}+ab+b^{2})+{\frac {1}{2}}q(b-a)(a+b)+r(b-a)={\frac {b-a}{3}}\left(p(a^{2}+ab+b^{2})+{\frac {3}{2}}q(a+b)+3r\right)$

$={\frac {b-a}{6}}\left(p(2a^{2}+2ab+2b^{2})+6q{\frac {a+b}{2}}+6r\right)={\frac {b-a}{6}}\left(p(a+b)^{2}+pa^{2}+pb^{2}+6q{\frac {a+b}{2}}+6r\right)$

$={\frac {b-a}{6}}\left(4p({\frac {a+b}{2}})^{2}+4q{\frac {a+b}{2}}+4r+pa^{2}+pb^{2}+2q{\frac {a+b}{2}}+2r\right)$

$={\frac {b-a}{6}}\left(pa^{2}+qa+r+4\left(p({\frac {a+b}{2}})^{2}+q{\frac {a+b}{2}}+r\right)+pb^{2}+qb+r\right)$

$={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].$

Edellinen lasku on hieman helpompi laskea loppuun jos tehdään aluksi muuttujan vaihto:

$s={\frac {x-a}{h}}$

jolloin $dx=hds$ ja integraali tulee muotoon

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\int _{0}^{2}g(s)\,ds$

Simpsonin säännön virhe

Jaettaessa väli [a,b] kahteen yhtä suureen osaan eli n=2 jolloin osavälien pituus on h=(b-a)/2 saadaan Simpsonin säännön virheeksi

$E_{2}=-{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}f^{(4)}(\xi )$

missä $\xi$on jokin piste väliltä (a,b) ja $f^{(4)}(\xi )$on funktion f neljäs derivaatta kyseisessä pisteessä.

Simpsonin sääntö antaa tarkan vastauksen kaikille polynomeille, joiden asteluku on pienempi tai yhtä suuri kuin kolme, koska virhetermi sisältää funktion neljännen derivaatan, mikä on tietysti = 0 kun funktio f on korkeintaan kolmatta astetta.

Yleistetty Simpsonin sääntö

Koska Simpsonin säännön virhe on suoraan verrannollinen laskettavan integroimisvälin pituuteen, saadaan virhe mahdollisimman pieneksi kun välin pituutta pienennetään. Käytännössä tämä tehdään jakamalla väli [a,b] useaan pienempään osaväliin [x_i,x_i+h], joihin jokaiseen käytetään Simpsonin sääntöä. Jos väli [a,b] jaetaan yhtä pitkiin väleihin, joita on N=2n kappaletta, (välejä tulee olla parillinen määrä, sillä Simpsonin sääntöä sovelletaan aina kahteen osaväliin) tulee jokaisen osavälin pituudeksi h=(b-a)/N. Tällöin saadaan yleistetty Simpsonin sääntö:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +2f(x_{2n-2})+4f(x_{2n-1})+f(x_{2n}){\bigg ]}.$

Yleistetyn Simpsonin säännön virhe

Jaettaessa väli [a,b] yhtä suuriin osaväleihin, joita on N=2n kappaletta, jolloin osavälien pituus on h=(b-a)/N, saadaan yleistetyn Simpsonin säännön virheeksi:

$E_{n}=-{\frac {(b-a)^{5}}{180N^{4}}}f^{(4)}(\xi )$

missä $\xi$on jokin välin (a,b) piste

Simpsonin 3/8-sääntö

Jos funktiota f ei approksimoidakaan toisen asteen polynomifunktiolla g (kahdella osavälillä) vaan kolmannen asteen polynomifunktiolla (kolmella osavälillä), jolta vaaditaan, että g saa samat arvot kuin funktio f osavälien päätepisteissä, saadaan likimääräiseksi arvioksi:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {3h}{8}}\left[f(a)+3f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right]={\frac {b-a}{8}}\left[f(a)+3f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right].$

Simpsonin 3/8-säännön virhe

$E_{n}=-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(\xi ),$

missä $\xi$on jokin välin (a,b) piste

Lähteet

• Daniels, Richard W. (1978). An Introduction to Numerical Methods and Optimization Techniques, 1st, Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-00263-4. 
• Davis, Philip J. & Rabinowitz, Philip (1975). Methods of Numerical Integration, 1st, Academic Press. ISBN 0-12-206350-3. 
• Milne, William Edmund. (1949). Numerical Calculus, 1st, Princeton University Press. 

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
• Kaleva, Osmo: Numeerinen analyysi. Opintomoniste 163. Tampere: TTKK, 1993. ISBN 951-721-941-5.