Separaatio (matematiikka)

Separaatio topologiassa on topologisen avaruuden $X$ joukon $E\subseteq X$ jako kahdeksi osajoukoksi $A$ ja $B$, jotka toteuttavat seuraavat ehdot:

1. $E=A\cup B$,
2. $A\neq \emptyset \neq B$,
3. ${\overline {A}}\cap B=\emptyset =A\cap {\overline {B}}$.

${\overline {A}}$ tarkoittaa joukon A sulkeumaa.

Sen sijaan leikkauksen ${\overline {A}}\cap {\overline {B}}$ ei tarvitse olla tyhjä.

$E$:n separaatio $\{A,\ B\}$ merkitään $E=A\mid B$.

Mikäli $E$:llä ei ole separaatiota, on se yhtenäinen.

Esimerkkejä

Olkoon $E\subset \mathbb {R}$ ja $E=\ ]0,2[\ \setminus \ \{1\}$. Toisin sanoen $E=A\cup B$, jossa $A=\ ]0,1[$ ja $B=\ ]1,2[$. Nyt ${\overline {A}}=\ [0,1]$ ja ${\overline {B}}=\ [1,2]$, joten ${\overline {A}}\cap B=\emptyset =A\cap {\overline {B}}$. Täten $E$ separoituu. Huomaa, että ${\overline {A}}\cap {\overline {B}}=\{1\}\neq \emptyset$.

Katso myös

• Yhtenäisyys

Lähteet

Väisälä, J. 2005. Topologia II, 2., korjattu painos. Helsinki. Limes ry. 105–106. ISBN 951-745-209-8.