Ryhmien laajentaminen

Ryhmän laajentaminen tarkoittaa sitä, että ryhmä kuvaillaan normaalin aliryhmän ja tekijäryhmän avulla. Jos Q ja N ovat kaksi ryhmää, on G Q:n laajennus N:llä jos on olemassa lyhyt eksakti jono

$1\rightarrow N\rightarrow G\rightarrow Q\rightarrow 1.\,\!$

Jos G on Q:n laajennus N:llä, on G ryhmä, N G:n normaali aliryhmä ja tekijäryhmä G/N on isomorfinen Q:n kanssa. Ryhmälaajennukset esiintyvät laajennusongelman yhteydessä. Näissä ryhmät Q ja N ovat tiedossa ja G:n ominaisuuksia pyritään selvittämään.

Laajennusta kutsutaan keskeiseksi, jos aliryhmä N sisältyy G:n keskittäjään.