Rationaalijuurilause

Rationaalijuurilause tai rationaalijuuritesti kertoo, millaisia rationaalijuuria kokonaislukukertoimisella polynomiyhtälöllä

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$

voi olla.

Lause sanoo, että jos a₀ ja a_n eivät ole nollia, ja yhtälöllä on rationaalijuuriratkaisu ${\tfrac {p}{q}}$, missä syt (p,q)=1, niin p jakaa kertoimen a₀ ja q jakaa kertoimen a_n.

Todistus

Olkoon ${\frac {p}{q}}$ yhtälön $f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ juuri ja kertoimet a_n,a_n-1,...,a₀ kokonaislukuja.

Tällöin pätee $f\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.$ Siirtämällä vakiotermi a₀ toiselle puolelle yhtälöä ja kertomalla puolittain termillä qⁿ saadaan yhtälö muotoon

$\qquad p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n}.$

Nyt siis p jakaa tulon $-a_{0}q^{n}$. Koska p:n ja q:n suurin yhteinen tekijä on 1, p ei jaa q:ta eikä myöskään lukua qⁿ. Siis p jakaa luvun a₀.

Siirtämällä korkeimman asteen termi oikealle puolelle voidaan päätyä vastaavasti yhtälöön

$\qquad q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n},$

josta puolestaan voidaan päätellä, että luvun q täytyy jakaa luku a_n.

Esimerkki

Tarkastellaan yhtälöä $P(x)=3x^{3}-7x^{2}+4$ ja tutkitaan, onko sillä rationaalijuurta p/q. Rationaalijuurilauseen perusteella p jakaa vakiotermin 4 ja q jakaa korkeimman asteen termin 3. Nyt siis $p\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 4\}$ ja $q\in \{\pm 1,\pm 3\}$. Yhdistämällä tiedot voidaan päätellä mahdollisen rationaalijuuren kuuluvan joukkoon $\{\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm {\tfrac {1}{3}},\pm {\tfrac {2}{3}},\pm {\tfrac {4}{3}}\}$. Sijoittamalla juuret yhtälöön voidaan kokeilemalla huomata, että $P(2)=P(1)=P(-{\tfrac {2}{3}})=0.$ Yhtälön rationaalijuuret ovat siis 1, 2 ja −2/3.

Rationaalijuurilause rajaa tarkasti, mitkä rationaaliluvut voivat olla yhtälön juuria. Yhdenkään näistä ei kuitenkaan tarvitse olla yhtälön juuri, sillä esimerkiksi yhtälöllä $Q(x)=x^{5}+3=0$ ei ole rationaalijuuria. Rationaalijuuritestin perusteella sen ainoat rationaalijuuret voisivat olla 1, −1, −3 ja 3, mutta kuitenkin Q(1)= 4, Q(−1)= 2, Q(3)=246 ja Q(−3) = −240.

Algebrallinen yleistys

Rationaalijuurilause pätee myös muille algebrallisille rakenteille kuin kokonaisluvuille ja rationaaliluvuille. Ylempänä esitetty todistus pätee jokaiselle tekijöihinjakorenkaan R polynomirenkaan R[X] alkiolle, kun tutkitaan polynomin juuria R:n osamääräkunnassa K.

Aiheesta muualla

• [1]