Polkuyhtenäisyys
Polkuyhtenäisyys on matemaattinen termi. Se on topologinen käsite vastaavasti kuin yhtenäisyyskin on. Polkuyhtenäinen avaruus on sellainen topologinen avaruus, jossa avaruuden mitä tahansa pistepareja voidaan yhdistää polulla kyseisessä avaruudessa . Topologiassa polku on jatkuva kuvaus suljetulta väliltä avaruuteen .
![{\displaystyle \left[{0,1}\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d59de98babdeb12dbddd2915440977abbddf0054)
Polkuyhtenäisyyden määritelmä muokkaa
Polku yhdistää pisteet ja , joita sanotaan maaliavaruudessa polun päätepisteiksi. Topologinen avaruus on polkuyhtenäinen, jos sen jokainen pistepari voidaan yhdistää polulla avaruudessa .
![{\displaystyle {f:[0,1]\rightarrow X}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2cec5157941b51a762099c800608104c9c196e5)
Lauseita muokkaa
Polkuyhtenäisyys vs. yhtenäisyys muokkaa
Polkuyhtenäinen avaruus on yhtenäinen. Yhtenäistä avaruutta ei voida jakaa kahteen erilliseen, epätyhjään, avoimeen osajoukkoon. Polkuyhtenäisyys on vahvempi avaruuden ominaisuus kuin yhtenäisyys. Polkuyhtenäisyydestä välttämättä seuraa heti yhtenäisyys.
Yhtenäinen avaruus ei aina ole polkuyhtenäinen. On avaruuksia, jotka ovat kyllä yhtenäisiä, mutta eivät ole kuitenkaan polkuyhtenäisiä. Sellainen on esimerkiksi topologin sinikäyrä, jonka muodostavat origo sekä funktion kuvaajan y-akselin oikealla puolella oleva osa.
Jatkuva kuvaus muokkaa
Polkuyhtenäisyys on topologinen ominaisuus, joka säilyy jatkuvissa kuvauksissa. Jotkut avaruuksien ominaisuuksista eivät muutu lainkaan jatkuvassa kuvauksessa.
Polkuyhtenäinen ympäristö muokkaa
Polkuyhtenäisessä avaruudessa on sellainen ominaisuus, että sen jokaisella pisteellä on polkuyhtenäinen ympäristö .
Väli on polkuyhtenäinen. Silloin jokaisella kyseisen välin pisteellä on olemassa polkuyhtenäinen ympäristö . Ympäristö on topologiassa määritelty avoimeksi joukoksi.
![{\displaystyle \left[0,1\right]\subset \mathbb {R} \,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25726258e3a9a600b5f3f893714e81eec7f7884)
![{\displaystyle x\in \left[0,1\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed39f780b31cab8e81cc0e1eadd6c79810adda0c)
![{\displaystyle U\subset \left[0,1\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/498d451e7fae88175ac032619287059be7dc8cce)
Lisäesimerkkejä muokkaa
Polkuyhtenäinen avaruus "Kampa" koostuu seuraavista osajoukoista: y-akselilta väli , x-akselilta väli sekä x-akselin suuntaiset janat , kun n on luonnollinen luku ja
![{\displaystyle \left[0,1\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4c6cdd847898cd2a2181812c2d31c1158138125)
Reaalilukujen joukko on polkuyhtenäinen.
Suljettu väli on polkuyhtenäinen.
![{\displaystyle {[-6,1]\subset \mathbb {R} }\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765e0ac5253e577e4b26f2687b9e50b219fb28fb)
Yksiö on polkuyhtenäinen.
Yhdiste ei ole polkuyhtenäinen, eikä yhtenäinen.
Avaruus on yhtenäinen, mutta ei ole polkuyhtenäinen.
Muutetaan vähän äskeisen esimerkin avaruutta :
Avaruus on yhtenäinen ja erityisesti se on polkuyhtenäinen.
Katso myös muokkaa
Lähteet muokkaa
- Martio, Olli: Vektorianalyysi. Helsinki: Limes ry, 2004.
- Väisälä, Jussi: Topologia I. Helsinki: Limes ry, 2004.
- Väisälä, Jussi: Topologia II. Helsinki: Limes ry, 2005.
Kirjallisuutta muokkaa
- Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.
- Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2.